Теорема. Суть подпространства

Теорема

Сумма и пересечение подпространств суть подпространства пространства $L$

Доказательство

Согласно критерию подпространства, необходимо доказать, что $\forall x,y\in L_1\cap L_2,\alpha ,\beta \in P\left(\alpha x+\beta y\in L_1\cap L_2\right)$Аналогично для $L_1+L_2$.

Итак, пусть $x,y\in L_1\cap L_2$.
По определению пересечения подпространств, $x,y\in L_1$ и $x,y\in L_2$. Применив критерий подпространства к $L_1$ и $L_2$ по отдельности, получим, что при любых $\alpha ,\beta \in P$ будет выполнено: $\alpha x+\beta y\in L_1$ и $\alpha x+\beta y\in L_2$, т.е. $\alpha x+\beta y\in L_1\cap L_2$

Теперь пусть $x,y\in L_1+L_2$.
По определению суммы подпространств, это означает, что $x=x_1+x_2,y=y_1+y_2$ при некоторых $x_1,y_1\in L_1,x_2,y_2\in L_2$
Тогда $\alpha x+\beta y=\left(\alpha x_1+\beta y_1\right)+\left(\alpha x_2+\beta y_2\right)$, где $\alpha x_1+\beta y_1\in L_1,\alpha x_2+\beta y_2\in L_2$ (так как $L_1,L_2$ - подпространства), т.е. $\alpha x+\beta y$ также представлен в виде суммы векторов из $L_1$ и $L_2$ и принадлежит сумме подпространств.

Теорема доказана.

Замечание

В общем случае вектор $v$ из суммы подпространств можно разложить в сумму $u+w$ из определения не единственным образом.

Например, если $L={\mathbf{R}}^3,L_1=\left\{{\left(a_1,a_2,0\right)}^T\mid a_1,a_2\in \mathbf{R}\right\},L_2=\left\{{\left(0,b_2,b_3\right)}^T\mid b_2,b_3\in \mathbf{R}\right\}$, то для вектора $(1,1,1{)}^T\in L_1+L_2$ (здесь сумма подпространств совпадает с самим пространством $L$ ) выполнены равенства: $\begin{array}{rl}(1,1,1{)}^T& =(1,1,0{)}^T+(0,0,1{)}^T\\ (1,1,1{)}^T& =(1,0,0{)}^T+(0,1,1{)}^T\end{array}$
$\text{ где }(1,1,0{)}^T,(1,0,0{)}^T\in L_1,(0,1,1{)}^T,(0,0,1{)}^T\in L_2$

линейноепространство