Теорема. Свойство всех решениях ОСЛУ

Теорема

Все решения ОСЛУ являются линейными комбинациями $n - r$ линейно независимых решений $(r = rank A)$

Доказательство

Если $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ - столбцы матрицы коэффициентов ОСЛУ, то система может быть представлена как
$A_{1} x_{1} + A_{2} x_{2} + \dots + A_{n} x_{n} = θ$
Так как $rank A < n, n - r$ столбцов являются линейными комбинациями остальных.

Без ограничения общности будем считать, что линейно независимы первые $r$ столбцов. Выразим последующие:
$A_{r + 1} = b_{(r + 1) 1} A_{1} + b_{(r + 1) 2} A_{2} + \dots + b_{(r + 1) r} A_{r} A_{r + 2} = b_{(r + 2) 1} A_{1} + b_{(r + 2) 2} A_{2} + \dots + b_{(r + 2) r} A_{r} \dots A_{n} = b_{n 1} A_{1} + b_{n 2} A_{2} + \dots + b_{n r} A_{r}$
Или, в другом виде:
$b_{(r + 1) 1} A_{1} + b_{(r + 1) 2} A_{2} + \dots + b_{(r + 1) r} A_{r} - A_{r + 1} + 0 \cdot A_{r + 2} + \dots + 0 \cdot A_{n} = 0 b_{(r + 2) 1} A_{1} + b_{(r + 2) 2} A_{2} + \dots + b_{(r + 2) r} A_{r} + 0 \cdot A_{r + 1} - A_{r + 2} + 0 \cdot A_{r + 3} + \dots + 0 \cdot A_{n} = 0 \dots b_{n 1} A_{1} + b_{n 2} A_{2} + \dots + b_{n r} A_{r} + 0 \cdot A_{r + 1} + \dots + 0 \cdot A_{n - 1} - A_{n} = 0$
Отсюда получаем линейно независимые решения:
$X_{1} = (b_{(r + 1) 1}, b_{(r + 1) 2}, \dots, b_{(r + 1) r}, - 1, 0, \dots, 0)^{T}, X_{2} = (b_{(r + 2) 1}, b_{(r + 2) 2}, \dots, b_{(r + 2) r}, 0, - 1, \dots, 0)^{T}, \dots X_{n - r} = (b_{n 1}, b_{n 2}, \dots, b_{n r}, 0, 0, \dots, 0, - 1)^{T} .$
Покажем, что остальные решения выражаются через найденные $n - r$ линейно независимыерешения.
Пусть $X = (x_{1}^{'}, \dots, x_{r}^{'}, x_{r + 1}^{'}, \dots, x_{n}^{'})$ - ещё одно решение ОСЛУ.
Тогда (свойство 2) $Y = X + x_{r + 1}^{'} X_{1} + x_{r + 2}^{'} X_{2} + \dots + x_{n}^{'} X_{n - r}$ - также решение данной ОСЛУ.
Распишем $Y$ подробно:
$Y = x_{1}^{'} x_{2}^{'} \dots x_{r}^{'} x_{r + 1}^{'} x_{r + 2}^{'} \dots x_{n}^{'} + x_{r + 1}^{'} b_{(r + 1) 1} b_{(r + 1) 2} \dots b_{(r + 1) r} - 1 0 \dots 0 + x_{r + 2}^{'} b_{(r + 2) 1} b_{(r + 2) 2} \dots b_{(r + 2) r} 0 - 1 \dots 0 + \dots + x_{n}^{'} b_{n 1} b_{n 2} \dots b_{n r} 00 \dots - 1 = y_{1} y_{2} \dots y_{n} 00 \dots 0$
т.е. последние $n - r$ элементов нулевые.

Поскольку $Y$ это решение, иначе это можно записать так:
$y_{1} A_{1} + y_{2} A_{2} + \dots + y_{r} A_{r} = θ$
В силу линейной независимости столбцов $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ получаем, что $y_{1} = y_{2} = \dots = y_{r} = 0$ , т.е. $Y = θ$ .
Вследствие построения $Y$ имеем:
$θ = X + x_{r + 1}^{'} X_{1} + x_{r + 2}^{'} X_{2} + \dots + x_{n}^{'} X_{n - r}$
или
$X = - x_{r + 1}^{'} X_{1} - x_{r + 2}^{'} X_{2} - \dots - x_{n}^{'} X_{n - r}$
т.е. произвольное решение ОСЛУ выражается через $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n - r}$

Теорема доказана.

системыуравнений

etuMath

Проводник

Теорема. Свойство всех решениях ОСЛУ

Вид графа

Обратные ссылки