Теорема. Ортогональность собственных векторов

Теорема

Собственные векторы, отвечающие различным собственным числам самосопряжённого оператора, ортогональны.

Доказательство

Пусть $A(u_1)={\lambda }_1{u}_1$ и $A(u_2)={\lambda }_2{u}_2$, где ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$.

$${\lambda }_1(u_1,u_2)=({\lambda }_1{u}_1,u_2)=(A(u_1),u_2)=(u_1,A(u_2))=(u_1,{\lambda }_2{u}_2)={\lambda }_2(u_1,u_2),$$

( ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ вещественные, поэтому комплексное сопряжение не учитываем).

$$({\lambda }_1-{\lambda }_2)(u_1,u_2)=0.$$

Поскольку ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$, получаем $(u_1,u_2)=0$, то есть $u_1\perp u_2$.

линейныйоператор