Теорема. Общее решение ОСЛУ и НОСЛУ

Теорема

Если неоднородная система линейных уравнений имеет решение, то общее решение неоднородной системы равно сумме общего решения однородной системы и частного решения неоднородной системы.

Доказательство

Пусть $X_0$ - какое-то частное (конкретное) решение системы, то есть выполнено

$$A{X}_0=B$$

И пусть $X$ - любое другое решение, то есть

$$AX=B$$

Вычитаем из второго уравнения первое:

$$A\left(X_0-X\right)=0$$

это однородная система. Обозначим $Y=X-X_0$
Тогда $Y$ - решение однородной системы, и $X=X_0+Y$

Следствие 1

Если ранг матрицы $r=n$, то соответствующая однородная система имеет только нулевое решение, то есть $Z=\theta$, и неоднородная система имеет единственное решение $X=X_0$

Следствие 2

Если ранг матрицы $r<n$ и НОСЛУ разрешима, то её общее решение представляет собой сумму частного решения неоднородной системы и линейную комбинацию $n-r$ линейно независимых решений соответствующей однородной системы.

системыуравнений матрица