Теорема. Модуль собственного значения унитарного оператора

Теорема

Для любого собственного значения $\lambda$ унитарного оператора выполняется $|\lambda |=1$.

Доказательство

Пусть $B(x)=\lambda x$, где $x\ne \theta$. Тогда

$$(x,x)=(B(x),B(x))=(\lambda x,\lambda x)=\lambda \bar{\lambda }(x,x).$$

Поскольку $(x,x)\ne 0$ ¹, делим и получаем $\lambda \bar{\lambda }=|\lambda {|}^2=1$, откуда $|\lambda |=1$.

линейныйоператор

Footnotes

1. $(x,x)$ - Скалярное произведение ↩