Теорема. Линейная независимость собственных векторов

Теорема

Если оператор имеет различные собственные значения ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_k$,
то соответствующие им собственные векторы, взятые по одному для каждого числа, линейно независимы.

Доказательство

Воспользуемся индукцией по числу собственных векторов.
При $k=1$ доказательство очевидно.

Пусть утверждение выполняется для $k-1$ векторов, и они линейно независимы. Докажем для $k$.
Возьмём собственные векторы $u_1,u_2,\dots ,u_k$, отвечающие числам ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_k$ соответственно,
и рассмотрим линейную комбинацию

$${\alpha }_1{u}_1+{\alpha }_2{u}_2+\dots +{\alpha }_k{u}_k=\theta \text{\hspace{1em}(1)}$$

где хотя бы один коэффициент ${\alpha }_i$ не равен нулю.
Тогда, применяя оператор $A$, получаем

$$A({\alpha }_1{u}_1+{\alpha }_2{u}_2+\dots +{\alpha }_k{u}_k)=\theta ,$$

а вследствие линейности оператора и свойств собственных векторов:

$${\alpha }_1{\lambda }_1{u}_1+{\alpha }_2{\lambda }_2{u}_2+\dots +{\alpha }_k{\lambda }_k{u}_k=\theta .\text{\hspace{1em}(2)}$$

Домножим равенство (1) на ${\lambda }_k$ и вычтем результат из (2):

$${\alpha }_1({\lambda }_1-{\lambda }_k)u_1+{\alpha }_2({\lambda }_2-{\lambda }_k)u_2+\dots +{\alpha }_{k-1}({\lambda }_{k-1}-{\lambda }_k)u_{k-1}=\theta .$$

По индуктивному переходу векторы $u_1,\dots ,u_{k-1}$ линейно независимы,
поэтому

$${\alpha }_i=0,i=1,\dots ,k-1.$$

Тогда из равенства (1) следует, что ${\alpha }_k{u}_k=\theta$, то есть либо ${\alpha }_k=0$, либо $u_k=\theta$.
Вектор $u_k$ не может быть нулевым, следовательно, ${\alpha }_k=0$.

Получаем, что все коэффициенты равны нулю, что противоречит предположению.
Значит собственные векторы линейно независимы.

Следствие

Если в $n$-мерном линейном пространстве $L$ оператор имеет $n$ различных собственных чисел, то соответствующие собственные векторы образуют базис пространства $L$.

линейныйоператор