Композиция функций

Def. Пусть заданы функции $f:X\to Y,g:Y\to Z$. Композицией (суперпозицией) функций $g$ и $f$ называется функция $g\circ f:X\to Z$, заданная правилом: $g\circ f(x)=g(f(x))\forall x\in X$

Замечание

Множество $Y$, используемое в определениях $f$ и $g$ может не совпадать, а лишь пересекаться, поэтому область определения композиции может быть сужена.

Примеры

Пусть $f=x^2,g=\sqrt{x}$. Найти $f\circ f,g\circ g,f\circ g,g\circ f$.

$$\begin{array}{rl}& f\circ f=f\left(x^2\right)=x^4\\ & g\circ g=g(\sqrt{x})=\sqrt[4]{x}\\ & f\circ g=f(\sqrt{x})=(\sqrt{x}{)}^2=x\left(\text{ примечание }:D_f=[0,+\infty )\right);\\ & g\circ f=\sqrt{x^2}=|x|\end{array}$$

функцияиотображение