Неприводимый многочлен

многочлены комплексныечисла множество определение аиг

Неприводимый многочлен

Многочлен $P(x)$ степени выше нулевой называется неприводимым над полем $K$ ¹, если его нельзя представить в виде произведения двух многочленов меньшей степени с коэффициентами из того же поля.
Неприводимые многочлены играют в кольце многочленов ту же роль, что и простые числа в кольце ¹ целых чисел.

Зависимость от поля

Свойство неприводимости зависит от поля, над которым рассматривается многочлен:

1. Над $\mathbb{R}$:² Многочлен $x^2+1$ неприводим, так как не имеет вещественных корней и не раскладывается на линейные множители.
2. Над $\mathbb{C}$: **³ Тот же многочлен $x^2+1$ приводим, так как $x^2+1=(x-i)(x+i)$.
3. Над ${\mathbb{Z}}_2$: ⁴ Многочлен $x^2+1$ приводим, так как в поле вычетов по модулю 2: $x^2+1=x^2+2x+1=(x+1{)}^2$.

Footnotes

1. Тема второго семестра АиГ ↩ ↩²

2. Вещественные числа ↩

3. Комплексные числа ↩

4. Кольцо вычетов ↩