Свойства ортогональных операторов

Из теоремы об ортогональности нормосохраняющего оператора следуют свойства

Свойства ортогонального оператора $A$

1.Ортогональность матрицы. В любом ортонормированном базисе выполняется $A^{T}A=E$; строки и столбцы матрицы взаимно ортонормированы .
2. Невырожденность. Из равенства $A^{T}A=E$ следует $\det A\ne 0$, а значит $\mathrm{Ker}A=\{0\}$ и $A$ обратим.
3. Тождественный оператор. Для $I$ очевидно $I^{T}I=E$, следовательно $I$ ортогонален.
4. Произведение ортогональных операторов ортогонально. Если $A^{T}A=E$ и $B^{T}B=E$, то $(AB{)}^T(AB)=B^T{A}^{T}AB=E$ .
5. Ортогональность обратного. Из $A^{T}A=E$ получаем $A^{-1}=A^T$; значит $(A^{-1}{)}^T{A}^{-1}=A{A}^T=E$ .
6. Определитель $\pm 1$. Так как $\det (A^{T}A)=\det E=1$ и $\det A^T=\det A$, имеем $(\det A{)}^2=1\Rightarrow \det A=\pm 1$ .
7. Собственные числа. Собственные числа ортогонального оператора, если существуют, равны $\pm 1$. $(u,u)=(A(u),A(u))=(\lambda u,\lambda u)={\lambda }^2(u,u)$
8. Сохранение углов. Так как $(A(x),A(y))=(x,y)$ и нормы сохраняются, то $\cos \angle (Ax,Ay)=\cos \angle (x,y)$ — углы не меняются .

Дополнение

Здесь используются свойства сопряжённого оператора из предыдущей лекции

линейныйоператор