Примеры ядра и базиса линейных операторов

Примеры

1. Пусть $A$ — линейный оператор проектирования на плоскость $Oxy$ в $V^3$.

   В стандартном базисе $i,j,k$ имеем:

   $$A(i)=i,A(j)=j,A(k)=\theta ,$$

   т.е. ядро $\mathrm{Ker}A=<k>$.
   Поскольку для любого $x\in V^3$ выполнено $A(x)=\alpha i+\beta j$, то
   $\mathrm{Im}A=<i,j>=Oxy$.
   Проще говоря, образом оператора проекции на плоскость является сама эта плоскость.

2. Пусть $D$ — оператор дифференцирования на ${\mathbf{R}}^3[x]$.

   Если $x^3,x^2,x,1$ — базис ${\mathbf{R}}^3[x]$, то $D(1)=\theta$,
   т.е. ядро оператора образуют многочлены–константы.

   С другой стороны, для $f\in {\mathbf{R}}^3[x]$ имеем

   $$D(f)=b_0{x}^2+b_{1}x+b_2,$$

   т.е. $\mathrm{Im}D=<x^2,x,1>$, образ оператора $D$ состоит из многочленов не выше второй степени.

линейныйоператор