4. Показательная форма комплексного числа

Показательная форма комплексного числа

Показательная форма комплексного числа

Показательная форма определяется при помощи формулы Эйлера, задающей комплексную экспоненту:$e^{a+bi}=e^a\cdot e^{bi}=e^a(\cos b+i\sin b).$

Мы будем записывать показательную форму в обозначениях тригонометрической:$z=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )=|z|e^{i\varphi }$
Как можно видеть, эта форма записи комплексного числа также определяется двумя параметрами - модулем и аргументом.

В показательной форме удобно производить умножение комплексных чисел по свойствам показательной функции.

комплексныечисла

Ссылка на оригинал

---

Свойства комплексных чисел в показательной форме

Свойства комплексных чисел в показательной форме

1. $e^{i2\pi }=1$

2. $\overline{e^{i\varphi }}=e^{-i\varphi }$

3. $e^{i{\varphi }_1}\cdot e^{i{\varphi }_2}=e^{i\left({\varphi }_1+{\varphi }_2\right)}$

Доказательство

$e^{i{\varphi }_1}\cdot e^{i{\varphi }_2}=\left(\cos {\varphi }_1+i\sin {\varphi }_1\right)\left(\cos {\varphi }_2+i\sin {\varphi }_2\right)$
Далее получаем требуемое по формулам косинуса и синуса суммы, как это уже было сделано ранее.

4. $\cos \varphi =\frac{e^{i\varphi }+e^{-i\varphi }}{2}$

Доказательство

$$\begin{array}{rl}& e^{i\varphi }=(\cos \varphi +i\sin \varphi )\\ & e^{-i\varphi }=(\cos (-\varphi )+i\sin (-\varphi ))=(\cos \varphi -i\sin \varphi )\end{array}$$

Складываем равенства и получаем требуемое.

5. $\sin \varphi =\frac{e^{i\varphi }-e^{-i\varphi }}{2i}$

Вывод тригонометрических форм через показательную форму

Показательная форма комплексного числа и её следствия позволяют выводить тригонометрические формы

Пусть $x=iy$, тогда $\mathrm{cosiy}=\frac{e^{-y}+e^y}{2}$. Аналогично: $\sin (iy)=\frac{e^{-y}-e^y}{2i}$

$$\begin{array}{l}{\cos }^{3}x={\left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}\left(e^{3ix}+3e^{ix}+3e^{-3ix}+e^{-3ix}\right)=\\ =\frac{1}{4}\left(\frac{e^{3ix}+e^{-3ix}}{2}+3\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)=\frac{1}{4}(\cos 3x+3\cos x).\end{array}$$

комплексныечисла

Ссылка на оригинал

---

Комплексный логарифм

Комплексный логарифм

Рассмотрим:

$$z=r{e}^{i\varphi }=r{e}^{i(\varphi +2\pi k)}⟹\ln z=\ln r+\ln e^{i(\varphi +2\pi k)}=\ln r+i(\varphi +2\pi k)$$

Def. Комплексным логарифмом называется выражение $\mathrm{Ln}z=\ln r\text{(вещественная часть)}+i(\varphi +2\pi k)\text{(мнимая часть)}$

Обозначение

Будем теперь обозначать комплексный логарифм с заглавной буквы. Обратим внимание, что вещественная его часть определяется однозначно, а мнимая - нет. Для достижения однозначности вводится понятие главного значения.

Def. Главным значением комплексного логарифма называется $\ln z=\mathrm{Lnz}$ при $\varphi \in (-\pi ,\pi ]$.
Комплексный логарифм не определён для $z=0$, а его вещественная часть равна

$$\ln r=\ln \sqrt{x^2+y^2}=\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)$$

Пример

1. Поскольку $-1=e^{\pi +2\pi k}$,
   то главным значением будет $\ln (-1)=i\pi$, а общим $\mathrm{Ln}(-1)=i\pi (2k+1)$.
2. При $x>0$ имеем:
   $\mathrm{Ln}(-x)=\mathrm{Ln}(-1)(x)=\ln x+\mathrm{Ln}(-1)=\ln x+i(\pi +2\pi k)$
   $i=e^{\frac{\pi }{2}+2\pi k}$
   Следовательно:
   $\ln i=\frac{\pi }{2}i$
   $\mathrm{Ln}i=\frac{\pi }{2}i(1+4k)$.

комплексныечисла

Ссылка на оригинал

---

По итогам лекции нужно знать:

1. Понятия:
   • Показательная форма комплексного числа
   • Формула Эйлера
2. Свойства комплексных чисел в показательной форме

комплексныечисла