Свойства комплексных чисел в показательной форме

1. $e^{i2\pi }=1$

2. $\overline{e^{i\varphi }}=e^{-i\varphi }$

3. $e^{i{\varphi }_1}\cdot e^{i{\varphi }_2}=e^{i\left({\varphi }_1+{\varphi }_2\right)}$

Доказательство

$e^{i{\varphi }_1}\cdot e^{i{\varphi }_2}=\left(\cos {\varphi }_1+i\sin {\varphi }_1\right)\left(\cos {\varphi }_2+i\sin {\varphi }_2\right)$
Далее получаем требуемое по формулам косинуса и синуса суммы, как это уже было сделано ранее.

4. $\cos \varphi =\frac{e^{i\varphi }+e^{-i\varphi }}{2}$

Доказательство

$$\begin{array}{rl}& e^{i\varphi }=(\cos \varphi +i\sin \varphi )\\ & e^{-i\varphi }=(\cos (-\varphi )+i\sin (-\varphi ))=(\cos \varphi -i\sin \varphi )\end{array}$$

Складываем равенства и получаем требуемое.

5. $\sin \varphi =\frac{e^{i\varphi }-e^{-i\varphi }}{2i}$

Вывод тригонометрических форм через показательную форму

Показательная форма комплексного числа и её следствия позволяют выводить тригонометрические формы

Пусть $x=iy$, тогда $\mathrm{cosiy}=\frac{e^{-y}+e^y}{2}$. Аналогично: $\sin (iy)=\frac{e^{-y}-e^y}{2i}$

$$\begin{array}{l}{\cos }^{3}x={\left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}\left(e^{3ix}+3e^{ix}+3e^{-3ix}+e^{-3ix}\right)=\\ =\frac{1}{4}\left(\frac{e^{3ix}+e^{-3ix}}{2}+3\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)=\frac{1}{4}(\cos 3x+3\cos x).\end{array}$$

комплексныечисла