Теорема. Формула полной вероятности

Теорема

Пусть вероятностное пространство: $A,H_1,\dots ,H_n$ – события, где $H_1,\dots ,H_n$ образуют полную группу событий.

• $\bigcup H_i=\Omega$ (события исчерпывают всё пространство исходов)
• $H_i\cap H_j=\varnothing ,i\ne j$ (события попарно несовместны)
  тогда:
  $P(A)={\sum }_{i=1}^{n}P(A|H_i)\cdot P(H_i)$
• $P(H_i)$ – априорная вероятность (до опыта)

Доказательство

$$\Omega =\bigcup _i{H}_i$$

Интересующее нас событие $A$ можно выразить через пересечение со всем пространством исходов:

$$A=A\cap \Omega =A\cap (H_1\cup H_2\cup \cdots \cup H_n)=A=(A\cap H_1)\cup (A\cap H_2)\cup \cdots \cup (A\cap H_n)$$

части вида ($A\cap H_i)$ несовместны, так как сами гипотезы не пересекаются

Так как события несовместны, вероятность их объединения равна сумме их вероятностей:

$$P(A)=P(A\cap \Omega )=\sum _{i=1}^{n}P(A\cap H_i)$$

По теореме умножения вероятностей заменяем $P(A\cap H_i)$ на $P(A|H_i)\cdot P(H_i)$ и получаем итоговую формулу:

$$P(A)=\sum _{i=1}^{n}P(A|H_i)\cdot P(H_i)$$

Пример

В первой урне $3$ белых и $4$ черных шара, во второй урне $2$ белых и $2$ чёрных шара. Из первой во вторую переложили $1$ шар.
После этого из второй урны вытащили $2$ шара. Найти $P$ того что они белые.

Решение

$A=\{\text{из 2-й вытащили 2 белых шара}\}$
$H_1=\{\text{переложили белый шар}\}$
$H_2=\{\text{переложили черный шар}\}$
$P(H_1)=\frac{3}{7}P(H_2)=\frac{4}{7}$
Найдем вероятность для случая когда переложили белый шар (будет $3$ белых шара теперь)
$P(A|H_1)=\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4}=\frac{3}{10}$
Найдем вероятность для случая когда переложили черный шар (остаётся $2$ белых шара)
$P(A|H_2)=\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{10}$

По формуле полной вероятности
$P(A)=P(A|H_1)P(H_1)+P(A|H_2)P(H_2)=\frac{3}{10}\cdot \frac{3}{7}+\frac{1}{10}\cdot \frac{4}{7}=\frac{13}{70}$