Теорема. Формула Байеса

Теорема

Следствием из формулы полной вероятности является формула Байеса

$$P(H_k|A)=\frac{P(A|H_k)P(H_k)}{{\sum }_{i=1}^{n}P(A|H_i)P(H_i)}$$

$P(H_k|A)$ – апостериорная вероятность (после опыта)

Доказательство

Распишем условную вероятность и воспользуемся теоремой умножения вероятностей и формулой полной вероятности $P(H_k|A)=\frac{P(A\cap H_k)}{P(A)}=\frac{P(A|H_k)P(H_k)}{{\sum }_{i=1}^{n}P(A|H_i)P(H_i)}$

Пример

Три охотника пошли на кабана. Вероятности попадания первого $0,9$ второго $0,8$ третьего $0,5$. Охотники сделали залп и убили кабана, в тушке нашли 2 пули. В каком соотношении справедливо поделить кабана?

Решение

Пусть $A=\{\text{в кабане 2 пули}\}$
Распишем все гипотезы в таблице и посчитаем их вероятность. За «$+$» обозначим попадание, за промах «$-$». Поскольку мы точно знаем, что в кабане $2$ пули, то вероятность событий с двумя «$+$» равна $1$, вероятность остальных событий равна $0$.

Гипотезы	Вероятности гипотез $P(H_i)$	$P(A\Vert H_i)$|
$H_1:+++$	$P(H_1)=0,9\cdot 0,8\cdot 0,5=0,36$	$0$
$H_2:---$	$P(H_2)=0,1\cdot 0,2\cdot 0,5=0,01$	$0$
$H_3:+--$	$P(H_3)=0,9\cdot 0,2\cdot 0,5=0,09$	$0$
$H_4:-+-$	$P(H_4)=0,1\cdot 0,8\cdot 0,5=0,04$	$0$
$H_5:--+$	$P(H_5)=0,1\cdot 0,2\cdot 0,5=0,01$	$0$
$H_6:++-$	$P(H_6)=0,9\cdot 0,8\cdot 0,5=0,36$	$1$
$H_7:+-+$	$P(H_7)=0,9\cdot 0,2\cdot 0,5=0,09$	$1$
$H_8:-++$	$P(H_8)=0,1\cdot 0,8\cdot 0,5=0,04$	$1$

Теперь по формуле полной вероятности найдем вероятность события $A$

$$P(A)=\sum _{i=1}^{8}P(A|H_i)\cdot P(H_i)=1\cdot 0,36+1\cdot 0,09+1\cdot 0,04=0,49$$

У нас есть всё чтобы применить формулу Байеса и найти вероятности для наших гипотез при условии события $A$. Для гипотез $H_1,H_2\dots H_5$ мы не рассчитываем вероятность, так как при условии $A$ это невозможные события

• Попал первый и второй

$$P(H_6|A)=\frac{P(A|H_6)P(H_6)}{P(A)}=\frac{1\cdot 0,36}{0,49}=\frac{36}{49}$$

• Попал первый и третий

$$P(H_7|A)=\frac{P(A|H_7)P(H_7)}{P(A)}=\frac{1\cdot 0,09}{0,49}=\frac{9}{49}$$

• Попал второй и третий

$$P(H_8|A)=\frac{P(A|H_8)P(H_8)}{P(A)}=\frac{1\cdot 0,04}{0,49}=\frac{4}{49}$$

Рассчитаем апостериорные вероятности того, что попал конкретный охотник при условии $A$. Сделать это можно суммируя условные вероятности гипотез, где конкретный охотник попадает. Для удобства обозначим событие попадание охотника за $B_i$, где $i$ – номер охотника:

$$\begin{array}{lc}& P(B_1|A)=\stackrel{=0}{P(H_1|A)}+\stackrel{=0}{P(H_3|A)}+P(H_6|A)+P(H_7|A)=\frac{45}{49}\\ & P(B_2|A)=\stackrel{=0}{P(H_1|A)}+\stackrel{=0}{P(H_4|A)}+P(H_6|A)+P(H_8|A)=\frac{40}{49}\\ & P(B_3|A)=\stackrel{=0}{P(H_1|A)}+\stackrel{=0}{P(H_5|A)}+P(H_7|A)+P(H_8|A)=\frac{13}{49}\end{array}$$

Чтобы поделить добычу нам нужно сложить все эти вероятности, после чего мы получим $2$, как раз ровно два выстрела мы и сделали. Остаётся поделить вероятность каждого охотника на двойку

• Доля 1-го охотника: $\frac{45/49}{2}=\frac{45}{98}$
• Доля 2-го охотника: $\frac{40/49}{2}=\frac{40}{98}$
• Доля 3-го охотника: $\frac{13/49}{2}=\frac{13}{98}$

Знаменатель одинаковый, его можно отбросить и получить соотношение: $45:40:13$

Ответ

$$45:40:13$$