Свойства ковариации

Связь дисперсии и ковариации

$co v (ξ, ξ) = Va r ξ$

Доказательство

$co v (ξ, ξ) = E (ξ^{o 2}) = E (ξ - E ξ)^{2} = Va r ξ$

Расчетная формула ковариации

$co v (ξ, η) = E (ξ \cdot η) - E ξ \cdot E η$

Доказательство

$co v (ξ, η) = E (ξ - E ξ) (η - E η) = E (ξ \cdot η - ξ \cdot E η - η \cdot E ξ + E ξ \cdot E η) = = E (ξ \cdot η) - E (ξ \cdot E η) - E (η \cdot E ξ) + E (E ξ \cdot E η) = E (ξ \cdot η) - E ξ \cdot E η - E η \cdot E ξ + E ξ \cdot E η = E (ξ \cdot η) - E ξ \cdot E η$

Ковариация независимых СВ

Если случайные величины $ξ$ и $η$ – независимы $⟹ co v (ξ, η) = 0$

Доказательство

По свойству независимых случайных величин
$E (ξ \cdot η) = E ξ \cdot E η$
Воспользуемся расчётной формулой
$co v (ξ, η) = E (ξ, η) - E ξ \cdot E η = E ξ \cdot E η - E ξ \cdot E η = 0$

Инвариантность сдвига

Если к случайной величине добавить константу, её ковариация не изменится
$co v (ξ + a, η) = co v (ξ, η)$
где $a$ – константа

Доказательство

$co v (ξ + a, η) = E ((ξ + a) \cdot η) - E (ξ + a) \cdot E η = E (ξ \cdot η + a η) - (E ξ + a) \cdot E η = E (ξ \cdot η) + a E η - E ξ \cdot E η - a E η = E (ξ \cdot η) - E ξ \cdot E η = co v (ξ, η)$

Билинейность ковариации

$co v (a ξ + b η, c ξ + d η) = a c \cdot Va r ξ + b d \cdot Va rη + (a d + b c) co v (ξ, η)$

Доказательство

Обозначим отклонения величин от их матожиданий как $\overset{˚}{ξ} = ξ - E ξ$ и $\overset{η}{˚} = η - E η$ .
По определению ковариации:
$co v (a ξ + b η, c ξ + d η) = E [(a \overset{˚}{ξ} + b \overset{η}{˚}) (c \overset{˚}{ξ} + d \overset{η}{˚})] = = E [a c \overset{˚}{ξ}^{2} + a d \overset{˚}{ξ} \overset{η}{˚} + b c \overset{η}{˚} \overset{˚}{ξ} + b d \overset{η}{˚}^{2}] = = a c Va r ξ E (\overset{˚}{ξ}^{2}) + (a d + b c) co v (ξ, η) E (\overset{˚}{ξ} \overset{η}{˚}) + b d Va rη E (\overset{η}{˚}^{2}) = = a c \cdot Va r ξ + (a d + b c) co v (ξ, η) + b d \cdot Va rη$

Свойство ограниченности абсолютной величины ковариации

Абсолютная величина ковариации не превышает среднего геометрического дисперсий этих случайных величин:
$∣ cov (ξ, η) ∣ \leq Var ξ \cdot Var η$

Доказательство

Рассмотрим математическое ожидание $ξ^{0} = (\frac{ξ - E ξ}{Var ξ} \pm \frac{η - E η}{Var η})^{2}$
Поскольку значения $ξ^{0}$ всегда $\geq 0$ то и её мат ожидание $\geq 0$
$E (\frac{ξ - E ξ}{Var ξ} \pm \frac{η - E η}{Var η})^{2} \geq 0 E (\frac{( ξ - E ξ ) ^{2}}{Var ξ} \pm 2 \frac{( ξ - E ξ ) ( η - E η )}{Var ξ \cdot Var η} + \frac{( η - E η ) ^{2}}{Var η}) \geq 0$
Воспользуемся свойством аддитивности мат. ожидания, а затем вынесем константы
$E \frac{( ξ - E ξ ) ^{2}}{Var ξ} \pm 2 E \frac{( ξ - E ξ ) ( η - E η )}{Var ξ \cdot Var η} + E \frac{( η - E η ) ^{2}}{Var η} \geq 0 \frac{1}{Var ξ} Var ξ E (ξ - E ξ)^{2} \pm \frac{2}{Var ξ Var η} cov (ξ, η) E ((ξ - E ξ) (η - E η)) + \frac{1}{Var η} Var η E (η - E η)^{2} \geq 0 1 \pm \frac{2 cov ( ξ , η )}{Var ξ \cdot Var η} + 1 \geq 0 \pm \frac{2 cov ( ξ , η )}{Var ξ \cdot Var η} \geq - 2 : 2 \cdot Var ξ \cdot Var η {cov (ξ, η) \geq - Var ξ \cdot Var η cov (ξ, η) \leq Var ξ \cdot Var η ∣ cov (ξ, η) ∣ \leq Var ξ \cdot Var η$

etuMath

Проводник

Свойства ковариации

Вид графа

Обратные ссылки