Теорема
может быть представлен в виде
для некоторых .
На самом деле теорема верна для любого поля, не только
Доказательство
Рассмотрим Множество многочленов
т.е. множество сумм многочленов при всевозможных .
Это бесконечное множество, в нём выберем многочлен наименьшей степени, отличный от нуля. Покажем, что НОД .Сначала докажем, что если , то их остаток от деления:
Пусть:
Тогда из следует, что
Пусть степень минимальна.
Так как сам , при делении его на остаток также будет содержаться в . Однако, по определению деления с остатком, его степень будет меньше , а это невозможно по выбору . Следовательно, .Аналогично: .
Таким образом, - общий делитель и . Докажем, что наибольший.
Возьмём какой-нибудь другой общий делитель данных двух многочленов.
Теорема доказана
Следствие 1
Для того чтобы многочлены и были взаимно простыми, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие многочлены , чтобы
Непосредственно следует из теоремы.
Следствие 2
Если произведение делится на , при этом , то
Достаточно расписать условие взаимной простоты и домножить обе части получившегося равенства на
Следствие 3
Докажите самостоятельно.