Наибольший общий делитель для многочленов (НОД)

многочлены определение аиг дмити

Определение

Многочлен $d(x)$ называется общим делителем многочленов $f(x)$ и $g(x)$, если

$$f(x)=d(x)\cdot f_1(x),g(x)=d(x)\cdot g_1(x)$$

при некоторых $f_1(x),g_1(x)\in P[x]$. Многочлен называется наибольшим общим делителем (НОД) $f(x)$ и $g(x)$, если он имеет наибольшую степень.

Замечание

Исходя из этого определения, НОД двух многочленов задаётся неоднозначно - их может быть бесконечное множество, но отличаться они будут на постоянный множитель: если $d(x)=$ НОД $(f(x),g(x))$, то $\alpha \cdot d(x)$ также будет являться НОД при любом ненулевом $\alpha$.

Если же зафиксировать старший коэффициент НОД равным 1 , то такой многочлен уже будет единственным.