Свойства моментов случайной величины

Центральный момент 1-го порядка

$μ_{1} = 0$

Доказательство

$E (ξ - E ξ)^{1} = E ξ - E (E ξ) = E ξ - E ξ = 0$

Второй центральный момент через начальные моменты

$μ_{2} = α_{2} - α_{1}^{2}$

Дисперсия

Центральный момент $2$ -го порядка является дисперсией. Это свойство является альтернативной формулой для дисперсии

Доказательство

$E (ξ - E ξ)^{2} = v a r ξ = E ξ^{2} - (E ξ)^{2} = α_{2} - α_{1}^{2}$

Третий центральный момент через начальные моменты

$μ_{3} = α_{3} - 3 α_{1} α_{2} + 2 α_{1}^{3}$

Доказательство

$E (ξ - E ξ)^{3} = E (ξ^{3} - 3 ξ^{2} \cdot E ξ + 3 ξ (E ξ)^{2} - (E ξ)^{3}) = E ξ^{3} - 3 \cdot α_{1} \cdot E ξ^{2} + 3 α_{1}^{2} \cdot E ξ - α_{1}^{3} = = α_{3} - 3 α_{1} α_{2} + 3 α_{1}^{3} - α_{1}^{3} = α_{3} - 3 α_{1} α_{2} + 2 α_{1}^{3}$

Четвертый центральный момент через начальные моменты

$μ_{4} = α_{4} - 4 α_{1} α_{3} + 6 α_{2} α_{1}^{2} - 3 α_{1}^{4}$

Доказательство

$E (ξ - E ξ)^{4} = E (ξ^{4} - 4 ξ^{3} \cdot E ξ + 6 ξ^{2} (E ξ)^{2} - 4 ξ \cdot (E ξ)^{3} + (E ξ)^{4}) = = E ξ^{4} - 4 α_{1} E ξ^{3} + 6 α_{1}^{2} \cdot E ξ^{2} - 4 α_{1}^{3} \cdot E ξ + α_{1}^{4} = = α_{4} - 4 α_{1} α_{3} + 6 α_{1}^{2} α_{2} - 4 α_{1}^{4} + α_{1}^{4} = α_{4} - 4 α_{1} α_{3} + 6 α_{2} α_{1}^{2} - 3 α_{1}^{4}$

etuMath

Проводник

Свойства моментов случайной величины

Вид графа

Обратные ссылки