Свойства выборочной дисперсии

Свойства выборочной дисперсии $s^2$ и исправленной выборочной дисперсии $\widehat{s^2}$ как оценок дисперсии.

Состоятельность

Оценки $s^2$ и $\widehat{s^2}$ являются состоятельными оценками дисперсии.

Смещённость

Оценка $s^2$ – асимптотически несмещённая, а $\widehat{s^2}$ – несмещённая оценка дисперсии.

Асимптотическая нормальность

Оценки $s^2$ и $\widehat{s^2}$ являются асимптотически нормальными оценками дисперсии:

$$\sqrt{n}(s^2-Var(X_k))\stackrel{d}{\to }N(0,Var((X_k-E{X}_k{)}^2)),n\to \infty .$$

Альтернативная формула

$$s^2=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{X}_k^2-{\bar{X}}^2$$

Доказательство

$$s^2=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n(X_k-\bar{X}{)}^2=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n(X_k^2-2X_k\bar{X}+{\bar{X}}^2)=$$ $$=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{X}_k^2-2\bar{X}\cdot \frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{X}_k+{\bar{X}}^2\cdot \frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}1=$$ $$=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{X}_k^2-2{\bar{X}}^2+{\bar{X}}^2=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{X}_k^2-{\bar{X}}^2$$