Метод подстановки

Метод подстановки

Метод подстановки является наиболее простым методом получения точечных оценок. Метод состоит в том, что в качестве оценки неизвестного параметра $\theta$ выбирается соответствующая выборочная числовая характеристика.

Применения метода подстановки для оценки

Пусть дана независимая выборка из нормального распределения:

$$X_1,\dots ,X_n\sim N(\theta ,{\theta }^2)$$

Оценкой математического ожидания $EX$ будет выборочное среднее:

$$\begin{array}{rl}EX\sim \bar{X}& =\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{X}_k\\ \widehat{{\theta }_n}& =\bar{X}\end{array}$$

Оценкой дисперсии $VarX$ будет выборочная дисперсия:

$$\begin{array}{rl}VarX\sim s^2& =\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n(X_k-\bar{X}{)}^2\\ \widehat{{\theta }_n^2}& =s^2\\ \widehat{{\theta }_n}& =s\end{array}$$

Наличие нескольких оценок одного параметра

Полученные оценки являются разными для одного параметра $\theta$, для выбора лучшей мы сравниваем их характеристики.

Свойства метода подстановки

Все оценки, рассчитанные по методу подстановки, являются состоятельными, однако их несмещённость и эффективность не гарантированы. Примером смещённой оценки, рассмотренной ранее, является выборочная дисперсия.