Достаточное условие состоятельности оценки

Достаточное условие состоятельности оценки

Если оценка ${\hat{\theta }}_n$ является несмещенной и ее дисперсия стремится к нулю ($Var{\hat{\theta }}_n\to 0$, при $n\to \infty$), то оценка является состоятельной.

Без доказательства.

Пример проверки состоятельности для выборочного среднего

Покажем состоятельность выборочного среднего $\bar{X}$

$$Var({\hat{\theta }}_n)=Var(\bar{X})=Var\left(\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{X}_k\right)=\frac{1}{n^2}Var\left(\sum _{k=1}^n{X}_k\right)\boxed{=}$$

Так как элементы выборки независимы и одинаково распределены, дисперсия суммы равна сумме дисперсий, а сами дисперсии равны:

$$\boxed{=}\frac{1}{n^2}\sum _{k=1}^{n}Var(X_k)=\frac{1}{n^2}\cdot n\cdot Var(X)=\frac{Var(X)}{n}\stackrel{n\to \infty }{\to }0$$

Дисперсия стремится к нулю, следовательно, оценка состоятельна.