Распределение суммы независимых случайных величин

Распределение суммы независимых случайных величин (свёртка)

Пусть функция НСВ $\Psi =\xi +\eta$
$\xi ,\eta$ – независимы
Тогда функцию распределения $\Psi$ можно представить как

$${\mathcal{F}}_{\Psi }(t)=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{\mathcal{F}}_{\eta }(t-x)d{\mathcal{F}}_{\xi }(x)=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{\mathcal{F}}_{\xi }(t-y)d{\mathcal{F}}_{\eta }(y)$$

Доказательство

$\xi ,\eta$ – независимы $⟹f_{(\xi ,\eta )}(x,y)=f_{\xi }(x)\cdot f_{\eta }(y)$.

Случайная величина $\Psi$ задается функцией $\phi (x,y)=x+y$

Запишем функцию распределения $\Psi$ :

$${\mathcal{F}}_{\Psi }(t)=\underset{\{x+y<t\}}{\iint }{f}_{\xi }(x)f_{\eta }(y)dxdy=\dots$$

Область задается неравенством $x+y<t⟹y<t-x$.

$$\cdots =\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{f}_{\xi }(x)dx\underset{-\infty }{\overset{t-x}{\int }}{f}_{\eta }(y)dy=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{f}_{\xi }(x){\mathcal{F}}_{\eta }(t-x)dx=$$

Заметим, что по свойству $f_{\xi }(x)={\mathcal{F}}_{\xi }^{\prime }(x)=\frac{d{\mathcal{F}}_{\xi }(x)}{dx}⟹f_{\xi }(x)dx=d{\mathcal{F}}_{\xi }(x)$

$$=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{\mathcal{F}}_{\eta }(t-x)d{\mathcal{F}}_{\xi }(x)=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{\mathcal{F}}_{\xi }(t-y)d{\mathcal{F}}_{\eta }(y)$$

Следствие. Плотность суммы независимых случайных величин

$$f_{\Psi }(t)=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{f}_{\xi }(x)f_{\eta }(t-x)dx$$

Доказательство

По свойству плотности

$$\begin{array}{rl}& f_{\Psi }(t)={\mathcal{F}}_{\Psi }^{\prime }(t)=\frac{d}{dt}\left(\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{\mathcal{F}}_{\eta }(t-x)d{\mathcal{F}}_{\xi }(x)\right)=\\ & =\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{f}_{\eta }(t-x){\mathcal{F}}_{\xi }(x)=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{f}_{\xi }(x)f_{\eta }(t-x)dx\end{array}$$