Стандартное нормальное распределение

Стандартный нормальный закон распределения (нормированный)

Нормально распределённая случайная величина $\xi$ называется стандартной если $\xi \sim N(0,1)$.
В таком случае плотность будет функцией Гаусса

$$f_{\xi }(x)=\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$$

Функция распределения это неберущийся интеграл

$${\mathcal{F}}_{\xi }(x)=\Phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^x{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt$$

Связь с функцией Лапласа

$$\Phi (x)=\frac{1}{2}+{\Phi }_0(x)$$

Доказательство

Разобьем $\Phi (x)$ на два отрезка и воспользуемся свойствами функции Лапласа

& \Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-t^2/2} dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{0} e^{-t^2/2} dt + \underbrace{\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^2/2} dt}_{\Phi_0(x)} = \\ & -\underbrace{\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{-\infty} e^{-t^2/2} dt}_{\Phi_{0}(-\infty) = -\Phi_{0}(+\infty) = - \frac{1}{2}} + \Phi_0(x)= \frac{1}{2} + \Phi_0(x) \end{aligned}