Теорема. Смена базиса для матрицы билинейной формы

Рассмотрим два базиса пространства $L$: $g_1,g_2,\dots ,g_n$ и $f_1,f_2,\dots ,f_n$.
Билинейная форма $B(x,y)$ не зависит от выбора базиса; от базиса зависит лишь её координатная запись после разложения векторов $x$ и $y$.

Теорема

Матрицы билинейной формы $B(x,y)$ в базисах $g_1,\dots ,g_n$ и $f_1,\dots ,f_n$ связаны соотношением
$B_f=C_{g\to f}^T{B}_g{C}_{g\to f}.$

Доказательство

Пусть

=x_{1}^{f}f_{1}+\ldots+x_{n}^{f}f_{n},$$ $$y=y_{1}^{g}g_{1}+\ldots+y_{n}^{g}g_{n} =y_{1}^{f}f_{1}+\ldots+y_{n}^{f}f_{n}.$$ Тогда, по определению [[Матрица билинейной формы|матриц формы]], $$B(x,y)=x_{g}\,B_{g}\,y_{g}^{T}=x_{f}\,B_{f}\,y_{f}^{T}.$$ [[Столбец координат вектора|Координаты]] и строки связаны [[Теорема. Связь столбца координат в двух базисах (Матрица перехода)|матрицей перехода]] $C_{g\to f}$: $$x_{g}^{T}=C_{g\to f}\,x_{f}^{T},\qquad y_{g}^{T}=C_{g\to f}\,y_{f}^{T},\qquad x_{g}=x_{f}\,C_{g\to f}^{T}.$$ Подставляя их, получаем $$\begin{aligned} x_{g}B_{g}y_{g}^{T} &=x_{f}\,C_{g\to f}^{T}B_{g}C_{g\to f}\,y_{f}^{T},\\ x_{f}B_{f}y_{f}^{T} &=x_{f}\,C_{g\to f}^{T}B_{g}C_{g\to f}\,y_{f}^{T}. \end{aligned}$$ Так как равенство верно для всех $x_{f},y_{f}$, заключаем [^1] $$\boxed{\,B_{f}=C_{g\to f}^{T}B_{g}C_{g\to f}\,}.$$

билинейнаяиквадратичнаяформы