Теорема. Ранг произведения матриц

Теорема

Ранг произведения матриц меньше либо равен рангу одного из элемента произведения

$$\forall A\in M_{m\times n}[\mathbf{P}]\forall B\in M_{n\times p}[\mathbf{P}](\mathrm{rank}AB\le \mathrm{rang}A,\mathrm{rank}AB\le \mathrm{rank}B)$$

Доказательство

Сначала покажем, что столбцы матрицы $AB$ представляют собой линейную комбинацию столбцов матрицы $A$.

Действительно, если $A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \dots & & & \\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \dots & b_{1p}\\ b_{21}& b_{22}& \dots & b_{2p}\\ \dots & & & \\ b_{n1}& b_{n2}& \dots & b_{np}\end{array}\right)$,

то первый столбец матрицы $AB$ выглядит следующим образом:

$$\left(\begin{array}{c}{a}_{11}{b}_{11}+a_{12}{b}_{21}+\dots +a_{1n}{b}_{n1}\\ a_{21}{b}_{11}+a_{22}{b}_{21}+\dots +a_{2n}{b}_{n1}\\ \dots \\ a_{m1}{b}_{11}+a_{m2}{b}_{21}+\dots +a_{mn}{b}_{n1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\\ \dots \\ a_{m1}\end{array}\right)\cdot b_{11}+\left(\begin{array}{c}{a}_{12}\\ a_{22}\\ \dots \\ a_{m2}\end{array}\right)\cdot b_{21}+\dots +\left(\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ a_{2n}\\ \dots \\ a_{mn}\end{array}\right)\cdot b_{n1},$$

то есть раскладывается в сумму столбцов матрицы $A$ с коэффициентами из первого столбца матрицы $B$.

Таким же образом можно записать представление остальных столбцов матрицы произведения, заменив в произведении первый столбец матрицы $B$.

Вернёмся к доказательству основного утверждения.

Для этого рассмотрим расширенную матрицу $(A\mid AB)=D$ размера $m\times (n+p)$. С одной стороны, $AB$ - подматрица $D$, поэтому $\mathrm{rank}AB\le \mathrm{rank}D$.

С другой, как только что было показано, столбцы $AB$ это линейные комбинации столбцов матрицы $A$, поэтому, приписывая к столбцам матрицы $A$ их линейные комбинации, максимальное количество линейно независимых строк расширенной матрицы, т.е. её ранг, увеличить невозможно, т.е. $\mathrm{rank}AB\le \mathrm{rank}D=\mathrm{rank}A$.

Аналогично можно показать, что строки матрицы $AB$ это линейные комбинации строк матрицы $B$, после чего к строкам $B$ приписать снизу строки $AB$, откуда $\mathrm{rank}AB\le \mathrm{rank}B$.

матрица