Теорема. Размерность образов подпространства

Теорема

Пусть $A:L\to L$ — Линейный оператор, а $L_0\le L$ — Подпространство.
Тогда

$$A(L_0)\le L,\dim A(L_0)\le \dim L_0.$$

Здесь $A(L_0)=\{A(x)\mid x\in L_0\}$ — множество всех образов элементов $L_0$.

Доказательство

1. Тривиальный случай.
При $L_0=\{\theta \}$ образ тоже $\{\theta \}$, неравенство очевидно.

2. Базис и координаты.
Пусть $\dim L_0=m>0$ и $e_1,\dots ,e_m$ — базис $L_0$.
Любой $x\in L_0$ имеет единственное разложение

$$x={\alpha }_1{e}_1+{\alpha }_2{e}_2+\cdots +{\alpha }_m{e}_m,{\alpha }_i\in F.$$

3. Образ подпространства.
Линейность даёт

$$A(x)={\alpha }_{1}A(e_1)+{\alpha }_{2}A(e_2)+\cdots +{\alpha }_{m}A(e_m).$$

Следовательно каждый вектор из $A(L_0)$ выражается через $A(e_1),\dots ,A(e_m)$,
и наоборот для любой такой линейной комбинации найдётся прообраз в $L_0$.
То есть $A(L_0)$ — линейная оболочка векторов $A(e_1),\dots ,A(e_m)$.

4. Оценка размерности.
Линейная оболочка, заданная $m$ векторами, не может иметь размерность больше $m$ (если среди $A(e_i)$ есть линейные зависимости, размерность ещё меньше);
поэтому

$$\dim A(L_0)\le m=\dim L_0.$$

линейныйоператор