Теорема. Образование базиса

Теорема

Если Размерность линейного пространства $L$ равна $n$, то любые $n$ линейно независимых векторов образуют базис $L$.

Доказательство

Пусть векторы $e_1,e_2,\dots ,e_n$ линейно независимы. Достаточно показать, что через них можно выразить любой вектор из $L$.

Возьмём произвольный вектор $x\in L\backslash \theta$ и приравняем к нулю линейную комбинацию векторов $e_1,e_2,\dots ,e_n,x$ ${\lambda }_1{e}_1+{\lambda }_2{e}_2+\dots +{\lambda }_n{e}_n+\lambda x=\theta$Существует два варианта:

• Если $\lambda =0$, то все остальные коэффициенты также должны быть равны нулю, ведь по условию векторы $e_1,e_2,\dots ,e_n$ линейно независимы. Это противоречит условию размерности пространства (она повысилась на 1 благодаря вектору $x$ ).

• Если $\lambda \ne 0$, то $\lambda x=-{\lambda }_1{e}_1-{\lambda }_2{e}_2-\dots -{\lambda }_n{e}_n$или $x=-\frac{{\lambda }_1}{\lambda }{e}_1-\frac{{\lambda }_2}{\lambda }{e}_2-\dots -\frac{{\lambda }_1}{\lambda }{e}_n,$

что и требовалось показать.

Следствие

В одном линейном пространстве базис можно выбрать более чем одним способом.
Действительно, при размерности $n>1$ векторы можно менять местами, получая другой базис. В вещественном или комплексном линейном пространстве, умножая базисные векторы на ненулевые множители, можно получать бесконечное Множество новых базисов (проверьте)

Примеры

• В качестве базиса множества $V^2$ свободных векторов плоскости (почему оно является линейным пространством?) можно взять любые два неколлинеарных вектора этой плоскости.

• В качестве базиса множества $V^3$ свободных векторов пространства можно взять любые три некомпланарных вектора. Например, $\bar{i},\bar{j},\bar{k}$.

линейноепространство