Теорема. Нормосохраняющий оператор ортогонален

Теорема

Пусть $A$ — линейный оператор $n$-мерного евклидова пространства $L$.
Если $\Vert A(x)\Vert =\Vert x\Vert$ для любого $x\in L$, то $A$ ортогонален.

Доказательство

Для любых $x,y\in L$ раскроем нормы:
$\Vert x+y{\Vert }^2=(x+y,x+y)=\Vert x{\Vert }^2+2(x,y)+\Vert y{\Vert }^2,$

=\|A(x)\|^{2}+2(A(x),A(y))+\|A(y)\|^{2}.$$ Поскольку $A$ сохраняет [[Норма вектора|норму]], $\|A(x)\|=\|x\|$ и $\|A(y)\|=\|y\|$, а также $$\|A(x)+A(y)\|=\|x+y\|,$$ имеем $$\|x\|^{2}+2(A(x),A(y))+\|y\|^{2}= \|x\|^{2}+2(x,y)+\|y\|^{2}.$$

Замечания

• Ортогональный оператор переводит ортонормированный базис $\{e_i\}$ в ортонормированный базис $\{A(e_i)\}$.
• Если $(x,u)=(x,v)$ для всех $x\in L$, то $u=v$, поскольку $(u-v,u-v)=0$.
  Следовательно, $(A(x),A(y))=(x,y)$ для всех $x,y\in L$.
  Отсюда $A^{\ast }\circ A=I$ и, так как ядро $A$ тривиально ($\mathrm{Ker}A=\{\theta \}$), $A$ обратим, т.е. $A^{\ast }=A^{-1}$ .

линейныйоператор