Теорема. Линейная оболочка

Теорема

Линейная оболочка векторов $b_1,b_2,\dots ,b_m$ является минимальным подпространством пространства $L$, содержащим векторы $b_1,b_2,\dots ,b_m$.

Доказательство

Сначала покажем, что это действительно Подпространство.
Очевидно, что $<b_1,\dots ,b_m>\subseteq L$, а, значит, аксиомы 1,2,5-8 опять проверять не нужно. Необходимо проверить замкнутости относительно сложения векторов и умножения на элементы поля , а также аксиомы 3 и 4:

• Замкнутость по сложению: ${\alpha }_1{b}_1+\dots +{\alpha }_m{b}_m+{\beta }_1{b}_1+\dots +{\beta }_m{b}_m=\left({\alpha }_1+{\beta }_1\right)b_1+\dots +\left({\alpha }_m+{\beta }_m\right)b_m$ т.е. мы получили новую линейную комбинацию, а, следовательно, элемент $⟨b_1,\dots ,b_m⟩$

• Замкнутость по умножению на элементы поля: распишите самостоятельно

• Тривиальная линейная комбинация показывает выполнение аксиомы 3

• Комбинация $-{\alpha }_1{b}_1-\dots -{\alpha }_m{b}_m$ обеспечивает выполнение аксиомы 4

Пусть $U\le L$ и $b_1,b_2,\dots ,b_m\in U$. Несложно видеть, что любая линейная комбинация элементов $b_1,b_2,\dots ,b_m$ будет содержаться в $U$ (так как оно является пространством), следовательно, $<b_1,\dots ,b_m>\subseteq U$

Теорема доказана.

Замечание 1

Поскольку все элементы линейной оболочки $<b_1,\dots ,b_m>$ выражаются через сами векторы $b_1,\dots ,b_m$, то для своей линейной оболочки они являются системой образующих. Если данные векторы линейно независимы, то они же являются базисом линейной оболочки. Если линейно зависимы, то максимальная линейно независимая совокупность векторов, выбранных из $b_1,\dots ,b_m$, образует базис линейной оболочки.

Замечание 2

Любое Линейное пространство является линейной оболочкой своего базиса

Примеры

• $<(1,0,0{)}^T,(1,1,0{)}^T,(0,2,0{)}^T>={\mathbf{R}}^2$
• $⟨x^5,x^3,x⟩=\left\{a{x}^5+b{x}^3+cx\mid a,b,c\in \mathbf{R}\right\}$
• $<(1,1,1{)}^T,(1,1,2{)}^T,(1,2,1{)}^T>={\mathbf{R}}^3$

линейноепространство