Теорема. Критерий обратимости функции

Теорема

Пусть для функции $f:X\to Y$ выполнено $Y=E_f$. Тогда $f$ обратима тогда и только тогда, когда она биективна.

Доказательство

Если $f$ обратима, то она сюръективна, и из равенства $f(x_1)=f(x_2)$ следует $x_1=x_2$, то есть $f$ инъективна. Следовательно, $f$ биективна.

Обратно. Если $f$ биективна, то существует взаимно-однозначное соответствие $x⟷y$. Определим функцию $g:Y\to X$ равенством $g(y)=x$. Тогда

$$(g\circ f)(x)=g(f(x))=x,(f\circ g)(y)=f(g(y))=y.$$

Таким образом, $f\circ g=e_Y$ и $g\circ f=e_X$, то есть $g$ является обратной к $f$

функцияиотображение