Теорема. Инвариантность характеристического многочлена

Собственные числа по определению не зависят от выбора базиса, поэтому и корни характеристического многочлена не должны зависеть от выбора базиса.

Теорема

Характеристический многочлен не зависит от выбора базис.

Доказательство

Пусть $f_1,f_2,\dots ,f_n$ и $g_1,g_2,\dots ,g_n$ — два базиса линейного пространства $L$.
Тогда матрица оператора $A$ в базисах $f$ и $g$ связаны следующим образом:
$A_f=C_{f\to g}{A}_g{C}_{g\to f},$
где $C_{f\to g}$ и $C_{g\to f}$ — матрицы перехода между этими базисами.
В новом базисе Характеристический многочлен имеет вид:
$\det (C_{f\to g}{A}_g{C}_{g\to f}-\lambda E)=0.$

Используя тот факт, что матрица тождественного оператора не зависит от выбора базиса, то есть
$C_{f\to g}E{C}_{g\to f}=E,$
а также что определитель произведения матриц равен произведению определителей, получаем:

$$\begin{array}{rl}& C_{f\to g}{A}_g{C}_{g\to f}-C_{f\to g}\lambda E{C}_{g\to f}=C_{f\to g}\left(A_g-\lambda E\right)C_{g\to f},\\ & \det \left(C_{f\to g}\left(A_g-\lambda E\right)C_{g\to f}\right)=\det C_{f\to g}\cdot \det \left(A_g-\lambda E\right)\cdot \det C_{g\to f}=\det \left(A_g-\lambda E\right),\end{array}$$

так как в произведении участвует пара взаимно обратных матриц.

линейныйоператор