Теорема. Инвариантность матрицы оператора и её следа

Теорема

След матрицы оператора не зависит от выбора базиса пространства $L$.

Доказательство

Воспользуемся циклическим свойством следа (это следует из правил умножения матриц):
для любых матриц $C$ и $D$ одинакового размера

$$\mathrm{tr}(CD)=\mathrm{tr}(DC).$$

Пусть $A_f$ и $A_g$ — матрицы оператора $A$ в базисах $f$ и $g$ соответственно,
а $C_{f\to g}$ и $C_{g\to f}$ — матрицы перехода между ними. Тогда

$$A_f=C_{f\to g}{A}_g{C}_{g\to f},A_g=C_{g\to f}{A}_f{C}_{f\to g}.$$

Тогда

$$\mathrm{tr}(A_f)=\mathrm{tr}\left(C_{f\to g}{A}_g{C}_{g\to f}\right)=\mathrm{tr}\left(A_g{C}_{g\to f}{C}_{f\to g}\right)=\mathrm{tr}(A_{g}E)=\mathrm{tr}(A_g),$$

поскольку $C_{g\to f}{C}_{f\to g}=E$.

линейныйоператор