Теорема. Закон инерции

Теорема

Если квадратичная форма разными способами приведена к сумме квадратов, то число положительных и отрицательных коэффициентов, а следовательно, и нулевых коэффициентов будет одно и то же.

Доказательство

Пусть в базисе $e_1,e_2,\dots ,e_n$ Квадратичная форма имеет вид

$$Q(x)={\lambda }_1{x}_1^2+{\lambda }_2{x}_2^2+\dots +{\lambda }_p{x}_p^2-{\mu }_1{x}_{p+1}^2-\dots -{\mu }_q{x}_n^2,$$

а в базисе $e_1^{\prime },e_2^{\prime },\dots ,e_n^{\prime }$:

$$Q(y)={\lambda }_1^{\prime }{y}_1^2+{\lambda }_2^{\prime }{y}_2^2+\dots +{\lambda }_{p^{\prime }}^{\prime }{y}_{p^{\prime }}^2-{\mu }_1^{\prime }{y}_{p^{\prime }+1}^2-\dots -{\mu }_{q^{\prime }}^{\prime }{y}_n^2.$$

Здесь

$$x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),y=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right),{\lambda }_i,{\mu }_i>0(i=1,\dots ,n).$$

Покажем, что $p=p^{\prime }$ (следовательно, $q=q^{\prime }$).
Предположим противное: $p\ne p^{\prime }$; без ограничения общности $p>p^{\prime }$.

Рассмотрим подпространства

$$L_1=⟨e_1,e_2,\dots ,e_p⟩,L_2=⟨e_{p^{\prime }+1}^{\prime },e_{p^{\prime }+2}^{\prime },\dots ,e_n^{\prime }⟩.$$

Тогда ^{1 2}

$$\dim L_1=p,\dim L_2=n-p^{\prime }⟹\dim L_1+\dim L_2=p+n-p^{\prime }>n,$$

поэтому найдётся ненулевой вектор $v\in L_1\cap L_2$.

Запишем $v$ в первом базисе:

$$v=v_1{e}_1+v_2{e}_2+\dots +v_p{e}_p,$$

откуда

$$Q(v{)}_e={\lambda }_1{v}_1^2+{\lambda }_2{v}_2^2+\dots +{\lambda }_p{v}_p^2>0$$

(так как $v\in L_1$).
С другой стороны, вектор $v$ лежит в $L_2$, поэтому во втором базисе

$$v=v_{p^{\prime }+1}{e}_{p^{\prime }+1}^{\prime }+v_{p^{\prime }+2}{e}_{p^{\prime }+2}^{\prime }+\dots +v_n{e}_n^{\prime },$$

и

$$Q(v{)}_{e^{\prime }}=-{\mu }_1^{\prime }{v}_{p^{\prime }+1}^2-{\mu }_2^{\prime }{v}_{p^{\prime }+2}^2-\dots -{\mu }_{q^{\prime }}^{\prime }{v}_n^2<0.$$

Получилось противоречие: одно и то же значение $Q(v)$ не может быть одновременно положительным и отрицательным. Следовательно, наше предположение неверно, то есть $p=p^{\prime }$ и, соответственно, $q=q^{\prime }$. Теорема доказана.

билинейнаяиквадратичнаяформы

Footnotes

1. $\dim L_1$ и $\dim L_2$ - Размерности подпространств ↩

2. Следствие верно по теореме о размерности суммы двух подпространств ↩