Теорема Крамера

Теорема

Пусть дана система $K$ из $n$ уравнений с $n$ неизвестными.
$K : ⎩ ⎨ ⎧ a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1}, a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2}, \dots a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + \dots + a_{nn} x_{n} = b_{n} .$
Запишем её в матричном виде:
$a_{11} a_{21} \dots a_{n 1} a_{12} a_{22} \dots a_{n 2} \dots \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} \dots a_{nn} b_{1} b_{2} \dots b_{n}$
Этой системе соответствует матричное уравнение
$A \cdot X = B$
где $A$ - матрица коэффициентов при неизвестных, $B$ - столбец свободных членов, $X$ - столбец неизвестных.

Теорема Крамера: Пусть дана система уравнений $K$ и $det A \neq = 0$ . Тогда $K$ имеет единственное решение
$(α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n})^{T}$
где $α_{1} = \frac{Δ _{1}}{Δ}, \dots, α_{n} = \frac{Δ _{n}}{Δ}, Δ = det A$
$Δ_{i} = a_{11} \dots a_{n 1} \dots \dots b_{1} b_{n} \dots \dots a_{1 n} a_{nn}$
$i$ -й столбец, $А$ заменён на столбец свободных членов

Доказательство

Пусть $(α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n})^{T}$ - решение системы $K$ .
Подставим его в систему, затем умножим первое уравнение на $A_{11}$ , второе - на $A_{21}, \dots$ , последнее - на $A_{n 1}$ , после чего сложим все уравнения и сгруппируем по $α_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ :
$α_{1} (a_{11} A_{11} + a_{21} A_{21} + \dots + a_{n 1} A_{n 1}) + α_{2} (a_{12} A_{11} + a_{22} A_{21} + \dots + a_{n 2} A_{n 1}) + \dots \dots + α_{1} (a_{1 n} A_{11} + a_{2 n} A_{21} + \dots + a_{nn} A_{n 1}) = A_{11} b_{1} + A_{21} b_{2} + \dots + A_{n 1} b_{n} .$
По свойствам определителей, множитель при $α_{1}$ равен $det A$ , остальные множители равны нулю. Выражение в правой части представляет собой Определитель матрицы, полученной из $A$ заменой первого столбца на столбец $B$ :
$b_{1} \dots b_{n} a_{12} a_{n 2} \dots \dots a_{1 n} a_{nn}$
Таким образом, $α_{1} \cdot det A = Δ_{1}$ , откуда $α_{1} = \frac{Δ _{1}}{Δ}$ .

Проделаем аналогичную процедуру с алгебраическими дополнениями $A_{1 i}, A_{2 i}, \dots, A_{ni}$ . В итоге получим равенство:
$α_{1} (a_{11} A_{1 i} + a_{21} A_{2 i} + \dots + a_{n 1} A_{ni}) + α_{2} (a_{12} A_{1 i} + a_{22} A_{2 i} + \dots + a_{n 2} A_{ni}) + \dots \dots + α_{1} (a_{1 n} A_{1 i} + a_{2 n} A_{2 i} + \dots + a_{nn} A_{ni}) = A_{1 i} b_{1} + A_{2 i} b_{2} + \dots + A_{ni} b_{n}$
Здесь также не равен нулю только один множитель - при $α_{i}$ .
В итоге имеем: $α_{i} \cdot det A = Δ_{i}$ , откуда $α_{i} = \frac{Δ _{i}}{Δ}$
Таким образом, мы показали, что если решение системы уравнений $K$ существует, то его можно получить единственным образом через коэффициенты $a_{ij}$ и правую часть $B$ .

Осталось показать, что решение существует всегда.
Во-первых, отметим, что выражение $\frac{Δ _{i}}{Δ}$ имеет смысл всегда, так как по условию $det A \neq = 0$ .
Далее подставим найденные $α_{i}$ в систему. Начинаем с первого уравнения:
$a_{11} \frac{Δ _{1}}{Δ} + a_{12} \frac{Δ _{2}}{Δ} + \dots + a_{1 n} \frac{Δ _{n}}{Δ} = \frac{1}{Δ} (a_{11} Δ_{1} + a_{12} Δ_{2} + \dots + a_{1 n} Δ_{n}) =$
распишем $Δ_{i}$ по столбцу со свободными членами
$= \frac{1}{Δ} (a_{11} (b_{1} A_{11} + b_{2} A_{21} + \dots + b_{n} A_{n 1}) + \dots + a_{1 n} (b_{1} A_{1 n} + \dots + b_{n - 1} A_{(n - 1) n} + b_{n} A_{nn})) = = \frac{1}{Δ} (b_{1} (a_{11} A_{11} + \dots + a_{1 n} A_{1 n}) + \dots + b_{n} (a_{11} A_{n 1} + \dots + a_{1 n} A_{nn})) = = \frac{1}{Δ} (b_{1} Δ + 0 + \dots + 0) = b_{1}$
Подставляя $α_{i}$ в остальные уравнения, получим оставшиеся $b_{i} (i = 2, \dots, n)$

Теорема доказана.

Следствие 1

Если система $K$ не имеет решений, то $det A = 0$ .

Следствие 2

Если система $K$ имеет бесконечно много решений, то $det A = 0$ .

Пример

${2 x + 5 y = 9 3 x - y = 5$
В матричном виде: $(23 5 - 1 95)$
$Δ = 23 5 - 1 = - 17; Δ_{1} = 95 5 - 1 = - 34; Δ_{2} = 2395 = - 17$ $\Rightarrow x = \frac{Δ _{1}}{Δ} = 2, y = \frac{Δ _{2}}{Δ} = 1$
Ответ: $(21)$

матрица

etuMath

Проводник

Теорема Крамера

Вид графа

Обратные ссылки