Алгебраическое дополнение

Определитель $\det A=\sum a_{1j_1}\cdot a_{2j_2}\cdot \dots \cdot a_{n{j}_n}\cdot (-1{)}^N$, т.е. сумма всевозможных произведений элементов со знаком, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца.

Зафиксируем для простоты понимания элемент $a_{11}$. Тогда остальные элементы произведений, входящих в определитель и содержащих этот элемент, будут находиться вне первой строки и первого столбца:

$$\left|\begin{array}{cccc}\underline{a_{11}}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ a_{31}& a_{32}& \dots & a_{3n}\\ \dots & & & \\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right|$$

То есть элементы произведений, содержащих $a_{11}$, будут находиться в подматрице порядка $n-1$, расположенной на пересечении строк и столбцов с номерами $2,3,\dots ,n$.

Теперь выберем только те произведения, входящие в определитель матрицы $A$, которые содержат произвольный фиксированный элемент $a_{st}$ (число $N_1$ использовано для краткости записи) :

$$\sum a_{1j_1}\cdot a_{2j_2}\cdot \dots \cdot a_{st}\cdot \dots \cdot a_{n{j}_n}\cdot (-1{)}^{N_1}=a_{st}\sum a_{1j_1}\cdot a_{2j_2\dots }\cdot a_{(s-1)j_{s-1}}\cdot a_{(s+1)j_{s+1}}\cdot \dots \cdot a_{n{j}_n}\cdot (-1{)}^{N_1}$$

Def. Сумма произведений со знаком, оставшихся после вынесения за скобку элемента $a_{st}$, т.е. число $A_{st}=\sum a_{1j_1}\cdot a_{2j_2}\dots \cdot a_{(s-1)j_{s-1}}\cdot a_{(s+1)j_{s+1}}\cdot \dots \cdot a_{n{j}_n}\cdot (-1{)}^{N_1}$, называется алгебраическим дополнением элемента $a_{st}$.

матрица