Свойства комплексного числа в алгебраической форме

Рассмотри свойства комплексных чисел в алгебраической форме. Пусть $z=x+iy,z_1=x_1+i{y}_1,z_2=x_2+i{y}_2$ . Из определения следуют свойства $\left(\forall z_1,z_2,z_3\in \mathbf{C}\right)$:

1. Коммутативность сложения:$z_1+z_2=z_2+z_1$
2. Ассоциативность сложения:$\left(z+z_1\right)+z_2=z+\left(z_1+z_2\right)$
3. Наличие нейтрального элемента относительно сложения:$z+0=0+z=z$
4. Обратимость относительно сложения: $\forall z\in \mathbf{C}\exists z_1\in \mathbf{C}\left(z+z_1=0\right)$
5. Коммутативность умножения: $z_1\cdot z_2=z_2\cdot z_1$

Свойства 1-5 очевидны

6. Ассоциативность умножения:$\left(z\cdot z_1\right)\cdot z_2=z\cdot \left(z_1\cdot z_2\right)$
7. Дистрибутивность: $\begin{array}{r}\left(z_1+z_2\right)\cdot z=z_1\cdot z+z_2\cdot z\\ z\cdot \left(z_1+z_2\right)=z\cdot z_1+z\cdot z_2\end{array}$
8. Наличие нейтрального элемента относительно умножения: $z\cdot 1=1\cdot z=z$

Cвойства 6-8 достаточно расписать в алгебраической форме

9. Обратимость относительно умножения: $\forall z\in \mathbf{C}\backslash \{0\}\exists z_1\in \mathbf{C}\left(z\cdot z_1=1\right)$

Доказательство

Докажем свойство 9. Для этого просто предъявим обратное число.
Рассмотрим $\frac{1}{z}$. Пользуясь формулой деления комплексного числа, получим:
$\frac{1}{z}=\frac{1\cdot x+0\cdot y}{x^2+y^2}+i\cdot \frac{0\cdot x-1\cdot y}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2}-i\cdot \frac{y}{x^2+y^2}$
Очевидно, что
$z\cdot \frac{1}{z}=(x+iy)\cdot \left(\frac{x}{x^2+y^2}-i\cdot \frac{y}{x^2+y^2}\right)=\frac{1}{x^2+y^2}(x-i\cdot y)=\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}=1$

Алгебраическая система

Множество, на котором относительно введённых операций сложения и умножения выполнены свойства 1-9, называется полем.

комплексныечисла