Квадратичная форма

Def. Квадратичной формой называется функция $Q:L⟶\mathbf{R}$, такая что $Q(x)=B(x,x)$ для некоторой симметричной билинейной формы $B(x,y)$.
Иначе говоря, это симметричная билинейная форма при $x=y$.

Поляризационная формула

По квадратичной форме $Q$ можно восстановить симметричную билинейную форму, из которой она получена:

B(x, y)=\frac{1}{2}(B(x+y, x+y)-B(x, x)-B(y, y))=\frac{1}{2}(Q(x+y)-Q(x)-Q(y))

Замечание 1. Матрица квадратичной формы

Квадратичную форму можно рассматривать как многочлен второй степени от $n$ переменных. В фиксированном базисе

$$\begin{array}{rl}Q(x)=B(x,x)=& q_{11}{x}_1^2+q_{12}{x}_1{x}_2+\dots +q_{1n}{x}_1{x}_n\\ & +q_{21}{x}_2{x}_1+q_{22}{x}_2^2+\dots +q_{2n}{x}_2{x}_n\\ & ⋮\\ & +q_{n1}{x}_n{x}_1+\dots +q_{nn}{x}_n^2=\sum _{i,j=1}^n{q}_{ij}{x}_i{x}_j.\end{array}$$

Поскольку $Q$ симметрична, то $q_{ij}=B\left(g_i,g_j\right)=B\left(g_j,g_i\right)=q_{ji}$, поэтому слагаемые $q_{ij}{x}_i{x}_j$ и $q_{ji}{x}_j{x}_i$ можно сложить как подобные слагаемые при $i\ne j$. Матрица квадратичной формы всегда симметрична.
Её общий вид:

\begin{pmatrix}
q_{11} & q_{12} & \ldots & q_{1n} \
q_{21} & q_{22} & \ldots & q_{2n} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
q_{n1} & q_{n2} & \ldots & q_{nn}
\end{pmatrix}

Пример

Пусть
$Q(x)=-x_1^2+4x_1{x}_2+3x_2^2-2x_2{x}_3+x_3^2.$
Поскольку матрица квадратичной формы симметрична, нам нужно обратно разделить неквадратичные слагаемые на две равные части, т.е., например, $4x_1{x}_2=2x_1{x}_2+2x_2{x}_1$. И далее симметрично расположить половинный коэффициент в матрице квадратичной формы:

$$Q_g=\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& 0\\ 2& 3& -1\\ 0& -1& 1\end{array}\right).$$

Замечание 2

В ортонормированном базисе симметричная матрица есть и у квадратичной формы, и у соответствующего самосопряжённого оператора $A$, задаваемого правилом $B(Ax,y)$. Поэтому матрицы $A$ и $Q$ совпадают. Кроме того,
$Q(x{)}_f=x_f{Q}_f{x}_f^T.$

билинейнаяиквадратичнаяформы