Алгоритм поиска общих решений ЛОДУ с постоянными коэффициентами второго порядка

Из теоремы о частном решении ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Поиск общих решений ЛОДУ с постоянными коэффициентами второго порядка

Перейдём к ЛОДУ с постоянными коэффициентами второго порядка, то есть уравнениям вида

$$y^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=0.$$

Напомним, что имеет место один из трёх случаев:

1. Характеристическое уравнение ${\lambda }^2+b\lambda +c=0$ имеет два различных вещественных корня ${\lambda }_1$ и ${\lambda }_2$.
   Тогда общим решением будет функция вида

   $$C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}.$$

2. Характеристическое уравнение ${\lambda }^2+b\lambda +c=0$ имеет кратный корень ${\lambda }_0$.
   Тогда общим решением будет функция вида

   $$C_1{e}^{{\lambda }_{0}x}+x{C}_2{e}^{{\lambda }_{0}x}.$$

3. Характеристическое уравнение ${\lambda }^2+b\lambda +c=0$ имеет два комплексных сопряжённых корня $p\pm qi$.
   Тогда общим решением будет функция вида

   $$e^{px}(C_1\cos qx+C_2\sin qx).$$

линейныйдифференциальныйоператор