Теорема Колмогорова (распределение Колмогорова)

Теорема Колмогорова

Пусть имеется выборка $X=(X_1,X_2,\dots ,X_n)$, которая имеет неизвестный закон распределения с непрерывной функцией распределения $\mathcal{F}$.
Пусть ${\mathcal{F}}_n^{\ast }$ – эмпирическая функция распределения, построенная по этой выборке. Тогда

$$\sqrt{n}\underset{t\in \mathbb{R}}{\sup }|{\mathcal{F}}_n^{\ast }(t)-\mathcal{F}(t)|\stackrel{d}{\to }\eta ,n\to \infty ,$$

где $\eta$ – случайная величина, имеющая распределение Колмогорова с непрерывной функцией распределения

$$K(x)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }(-1{)}^k{e}^{-2k^2{x}^2},x\ge 0.$$