Теорема Гливенко-Кантелли

Теорема Гливенко-Кантелли

Пусть имеется выборка $X=(X_1,X_2,\dots ,X_n)$, которая имеет неизвестное распределение с функцией распределения ${\mathcal{F}}_{\xi }$. Пусть ${\mathcal{F}}_n^{\ast }$ – эмпирическая функция распределения, построенная по этой выборке. Тогда их разность сходится по вероятности абсолютно

$$\underset{t\in \mathbb{R}}{\sup }|{\mathcal{F}}_n^{\ast }(t)-{\mathcal{F}}_{\xi }(t)|\stackrel{P}{\to }0,n\to \infty .$$

Следствие

Если рассматривать отдельно каждую точку, то $\forall t\in \mathbb{R}$

$${\mathcal{F}}_n^{\ast }(t)\stackrel{P}{\to }{\mathcal{F}}_{\xi }(t),n\to \infty .$$