Выборочный закон распределения

Выборочное (эмперическое) распределение

Пусть $x_1,x_2\dots x_n$ – реализация выборки.
Построим новую случайную величину ${\xi }^{\ast }$, со значениями $x_i$ и вероятностями $p_i=\frac{1}{n}$ и запишем её распределение:

$$\begin{array}{ccccc}{x}_i& x_1& x_2& \dots & x_n\\ p_i& \frac{1}{n}& \frac{1}{n}& \dots & \frac{1}{n}\end{array}$$

Функция распределения ${\mathcal{F}}_n^{\ast }(t)$ задается через индикатор $\mathbb{I}$:

$${\mathcal{F}}_n^{\ast }(t)=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\mathbb{I}}_{(x_k,+\infty )}(t)$$

Для реализации выборки $x_1\le x_2\le \cdots \le x_n$ функция имеет ступенчатый вид:

$${\mathcal{F}}_n^{\ast }(t)=\{\begin{array}{ll}0,& t\le x_1\\ \frac{1}{n},& t\in (x_1;x_2]\\ \frac{2}{n},& t\in (x_2;x_3]\\ \dots & \dots \\ 1,& t>x_n\end{array}$$

Математическое ожидание выборочного распределения

Математическое ожидание построенной случайной величины ${\xi }^{\ast }$ совпадает с выборочным средним $\bar{x}$:

$$E{\xi }^{\ast }=\sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i=\sum _{i=1}^n{x}_i\cdot \frac{1}{n}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i=\bar{x}$$

Дисперсия выборочного распределения

Вычисление дисперсии для ${\xi }^{\ast }$ через разность моментов:

$$Var{\xi }^{\ast }=E({\xi }^{\ast }{)}^2-(E{\xi }^{\ast }{)}^2=\sum _{i=1}^n{x}_i^2\cdot p_i-{\bar{x}}^2=\sum _{i=1}^n{x}_i^2\cdot \frac{1}{n}-{\bar{x}}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i^2-{\bar{x}}^2=\overline{x^2}-{\bar{x}}^2$$

Расчет по определению:

$$Var{\xi }^{\ast }=\sum _{i=1}^n(x_i-E{\xi }^{\ast }{)}^2{p}_i=\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2\cdot \frac{1}{n}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2$$