Стандартное распределение Коши

Видео

Изучить распределение Коши в общем виде можно в видео на YouTube

Стандартное распределение Коши

Случайная величина $\xi$ соответствует распределению $C(0,1)$ если её плотность:

$$f_{\xi }(x)=\frac{1}{\pi (1+x^2)},x\in \mathbb{R}$$

График плотности распределения

Функция распределения примет вид

$${\mathcal{F}}_{\xi }(x)=\frac{1}{\pi }\text{arctg }x+\frac{1}{2}$$

Доказательство

$$\begin{array}{rl}& {\mathcal{F}}_{\xi }(x)={\int }_{-\infty }^x{f}_{\xi }(t)dt={\int }_{-\infty }^x\frac{1}{\pi (1+t^2)}dt=\underset{a\to -\infty }{\lim }{\int }_a^x\frac{1}{\pi (1+t^2)}dt=\underset{a\to -\infty }{\lim }\frac{1}{\pi }\cdot \text{arctg }t{|}_a^x=\\ & =\underset{a\to -\infty }{\lim }\frac{1}{\pi }(\text{arctg }x-\text{arctg }a)=\frac{1}{\pi }\left(\text{arctg }x+\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{\pi }\text{arctg }x+\frac{1}{2}\end{array}$$

График функции распределения

Отсутствие моментов

У Cлучайной величины $\xi \sim C(0,1)$ отсутствуют моменты

Доказательство

Найдем начальный момент первого порядка – математическое ожидание

$$\begin{array}{rl}& E_{\xi }={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx={\int }_{-\infty }^{\infty }x\cdot \frac{1}{\pi (1+x^2)}dx=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^0\frac{x}{1+x^2}dx+\frac{1}{\pi }\underset{I_1}{\underbrace{{\int }_0^{+\infty }\frac{x}{1+x^2}dx}}\\ & I_1={\int }_0^{+\infty }x\cdot \frac{1}{1+x^2}dx=\underset{N\to \infty }{\lim }{\int }_0^N\frac{x}{1+x^2}dx=\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{2}{\int }_0^N\frac{d(x^2)}{1+x^2}=[x^2=y]=\\ & =\frac{1}{2}\underset{N\to \infty }{\lim }(\ln |1+y|){|}_0^{N^2}=\frac{1}{2}\underset{N\to \infty }{\lim }(\ln (1+N^2)-\ln 1)=+\infty \end{array}$$

Один из интегралов расходится, а значит и сам интеграл расходится. Мы не можем посчитать математическое ожидание, а значит и другие моменты тоже.