Независимость в совокупности

Независимость в совокупности

События $A_1,...,A_n$ называются независимыми в совокупности, если $\forall A_{i_1},...,A_{i_k}2\le k\le n$:
$P(A_{i_1}\cap ...\cap A_{i_k})=P(A_{i_1})\cdot ...\cdot P(A_{i_k})$

Следствие из определения

Если события независимы в совокупности, то они независимы попарно.

Замечание

В обратную сторону неверно!

Пример

Бросили 2 кубика. Возможные исходы четности: ЧЧ, ЧН, НЧ, НН.

• $A=\{\text{выпало четное число на 1 кубике}\}$
• $B=\{\text{выпало четное число на 2 кубике}\}$
• $C=\{\text{выпали числа разной четности}\}$

$$P(A)=\frac{1}{2}P(B)=\frac{1}{2}P(C)=\frac{1}{2}$$ $$\{\begin{array}{l}P(A\cap B)=\frac{1}{4}=P(A)\cdot P(B)\\ P(A\cap C)=\frac{1}{4}=P(A)\cdot P(C)\\ P(B\cap C)=\frac{1}{4}=P(B)\cdot P(C)\end{array}⟹\text{События попарно независимы}$$

Но они не независимы в совокупности, потому что выбить 2 четных числа и при этом чтобы они были разной четности невозможно

$$P(A\cap B\cap C)=0\ne \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}$$