Теорема. Простейшие дроби

Простейшие дроби

Простейшими будем называть дроби из многочленов одного из видов:

$$\begin{array}{c}\frac{A}{x-a}(1)\\ \\ \frac{A}{(x-a{)}^k},k\in \mathbf{N}\backslash \{1\}(2)\\ \\ \frac{Bx+C}{x^2+px+q},D<0(3)\\ \\ \frac{Bx+C}{{\left(x^2+px+q\right)}^k},D<0,k\in \mathbf{N}\backslash \{1\}(4)\end{array}$$

Доказательство

Разложим $g(x)$ на множители:
$g(x)=a_n{\left(x-x_1\right)}^{k_1}{\left(x-x_2\right)}^{k_2}\cdot \dots \cdot {\left(x-x_m\right)}^{k_m}{\left(x^2+p_{1}x+q_1\right)}^{l_1}\cdot \dots \cdot {\left(x^2+p_{s}x+q_s\right)}^{l_s}$, $k_i,l_j\in \mathbf{N},k_1+k_2+\dots +k_m+2\left(l_1+l_2+\dots +l_s\right)=\mathrm{deg}(g(x))$.

Каждому множителю ${\left(x-x_i\right)}^{k_i}$ в знаменателе отвечает правильная дробь $\frac{g_i(x)}{{\left(x-x_i\right)}^{k_i}}$, где $\mathrm{deg}\left(g_i(x)\right)\le k_i-1$, которая может быть представлена в виде суммы

$$\frac{A_1}{\left(x-x_i\right)}+\frac{A_2}{{\left(x-x_i\right)}^2}+\dots +\frac{A_{k_i}}{{\left(x-x_i\right)}^{k_i}}$$

Объясните почему, представив $g_i(x)$ в виде суммы степеней $\left(x-x_i\right)$

Аналогично: каждому множителю ${\left(x^2+p_{j}x+q_j\right)}^{l_j}$ в знаменателе отвечает правильная дробь $\frac{g_j(x)}{{\left(x^2+p_{j}x+q_j\right)}^{l_j}}$, где $\mathrm{deg}\left(g_j(x)\right)\le l_j-1$, которая может быть представлена в виде суммы

$$\frac{B_{1}x+C_1}{\left(x^2+p_{j}x+q_j\right)}+\frac{B_{2}x+C_2}{{\left(x^2+p_{j}x+q_j\right)}^2}+\dots +\frac{B_{l_j}x+C_{l_j}}{{\left(x^2+p_{j}x+q_j\right)}^{l_j}}$$

Пример

$$\begin{array}{l}\frac{x^2}{x^4-16}=\frac{x^2}{(x-2)(x+2)(x^2+4)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}+\frac{Cx+D}{x^2+4}=\\ =\frac{A(x+2)(x^2+4)+B(x-2)(x^2+4)+(Cx+D)(x^2-4)}{x^4-16}\\ \text{при }x=2:4=A\cdot 4\cdot 8⟹A=\frac{1}{8},\\ \text{при }x=-2:4=B\cdot (-4)\cdot 8⟹B=-\frac{1}{8},\\ \text{при }x=0:0=\frac{1}{8}\cdot 2\cdot 4+(-\frac{1}{8})\cdot (-2)\cdot 4+D\cdot (-4)⟹D=\frac{1}{2},\\ \text{при }x=1:1=\frac{1}{8}\cdot 3\cdot 5+(-\frac{1}{8})\cdot (-1)\cdot 5+(C+\frac{1}{2})\cdot (-3)⟹C=0,\\ \text{Итого:}\frac{x^2}{x^4-16}=\frac{\frac{1}{8}}{x-2}-\frac{\frac{1}{8}}{x+2}+\frac{\frac{1}{2}}{x^2+4}.\end{array}$$

многочлены