Правильные дроби

Правильные дроби

Правильная дробь

Дробь из многочленов $\frac{f ( x )}{g ( x )}$ называется правильной, если степень $deg (f (x)) < deg (g (x))$
где $f (x), g (x) \in R [x], g (x) \neq = 0$ .

Приведение дроби к правильной

Прочие дроби можно привести к правильным, если осуществить деление с остатком числителя на знаменатель:
$\frac{f}{g} = \frac{g \cdot q + r}{g} = q + \frac{r}{g}, где deg (r) < d e g (f)$

многочлены
Ссылка на оригинал

Простейшие дроби

Теорема. Простейшие дроби

Простейшие дроби

Простейшими будем называть дроби из многочленов одного из видов:
$\frac{A}{x - a} (1) \frac{A}{( x - a ) ^{k}}, k \in N \ {1} (2) \frac{B x + C}{x ^{2} + p x + q}, D < 0 (3) \frac{B x + C}{( x ^{2} + p x + q ) ^{k}}, D < 0, k \in N \ {1} (4)$

Доказательство

Разложим $g (x)$ на множители:
$g (x) = a_{n} (x - x_{1})^{k_{1}} (x - x_{2})^{k_{2}} \cdot \dots \cdot (x - x_{m})^{k_{m}} (x^{2} + p_{1} x + q_{1})^{l_{1}} \cdot \dots \cdot (x^{2} + p_{s} x + q_{s})^{l_{s}}$ , $k_{i}, l_{j} \in N, k_{1} + k_{2} + \dots + k_{m} + 2 (l_{1} + l_{2} + \dots + l_{s}) = deg (g (x))$ .

Каждому множителю $(x - x_{i})^{k_{i}}$ в знаменателе отвечает правильная дробь $\frac{g _{i} ( x )}{( x - x _{i} ) ^{k_{i}}}$ , где $deg (g_{i} (x)) \leq k_{i} - 1$ , которая может быть представлена в виде суммы
$\frac{A _{1}}{( x - x _{i} )} + \frac{A _{2}}{( x - x _{i} ) ^{2}} + \dots + \frac{A _{k_{i}}}{( x - x _{i} ) ^{k_{i}}}$
Объясните почему, представив $g_{i} (x)$ в виде суммы степеней $(x - x_{i})$

Аналогично: каждому множителю $(x^{2} + p_{j} x + q_{j})^{l_{j}}$ в знаменателе отвечает правильная дробь $\frac{g _{j} ( x )}{( x ^{2} + p _{j} x + q _{j} ) ^{l_{j}}}$ , где $deg (g_{j} (x)) \leq l_{j} - 1$ , которая может быть представлена в виде суммы
$\frac{B _{1} x + C _{1}}{( x ^{2} + p _{j} x + q _{j} )} + \frac{B _{2} x + C _{2}}{( x ^{2} + p _{j} x + q _{j} ) ^{2}} + \dots + \frac{B _{l_{j}} x + C _{l_{j}}}{( x ^{2} + p _{j} x + q _{j} ) ^{l_{j}}}$

Пример

$\frac{x ^{2}}{x ^{4} - 16} = \frac{x ^{2}}{( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x ^{2} + 4 )} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C x + D}{x ^{2} + 4} = = \frac{A ( x + 2 ) ( x ^{2} + 4 ) + B ( x - 2 ) ( x ^{2} + 4 ) + ( C x + D ) ( x ^{2} - 4 )}{x ^{4} - 16} при x = 2 : 4 = A \cdot 4 \cdot 8 ⟹ A = \frac{1}{8}, при x = - 2 : 4 = B \cdot (- 4) \cdot 8 ⟹ B = - \frac{1}{8}, при x = 0 : 0 = \frac{1}{8} \cdot 2 \cdot 4 + (- \frac{1}{8}) \cdot (- 2) \cdot 4 + D \cdot (- 4) ⟹ D = \frac{1}{2}, при x = 1 : 1 = \frac{1}{8} \cdot 3 \cdot 5 + (- \frac{1}{8}) \cdot (- 1) \cdot 5 + (C + \frac{1}{2}) \cdot (- 3) ⟹ C = 0, Итого : \frac{x ^{2}}{x ^{4} - 16} = \frac{\frac{1}{8}}{x - 2} - \frac{\frac{1}{8}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x ^{2} + 4} .$

многочлены
Ссылка на оригинал

По итогам лекции нужно знать:

Понятия:
- Правильная дробь
- Простейшие дроби
Почему простейшие дроби над $R$ именно такие

многочлены

etuMath

Проводник

3. Разложение на простейшие

Правильные дроби

Правильные дроби

Простейшие дроби

Теорема. Простейшие дроби

По итогам лекции нужно знать:

Вид графа

Оглавление