Теорема. Формула Бернулли

Формула Бернулли

Имеется испытание Бернулли $⟹$ вероятность того, что в $n$ испытаниях успехов ровно $m$:

$$P_n(m)=C_n^m{p}^m{q}^{n-m}$$

Док-во

$A_i$ – произошел успех в $i$-м испытании
Фиксируем $m$ успехов
По определению события независимы, так что удобно применить теорему умножения вероятностей для независимых событий:

$$\begin{array}{lc}& P(A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_m\cap {\overline{A}}_{m+1}\cap \cdots \cap {\overline{A}}_n)=\\ & =P(A_1)\cdot P(A_2)\dots P(A_m)\dots P({\overline{A}}_{m+1})\dots P({\overline{A}}_n)=\\ & =\underset{m}{\underbrace{p\dots p}}\cdot \underset{n-m}{\underbrace{q\dots q}}=p^m{q}^{n-m}\end{array}$$

Это только один случай (все первые $m$ событий успешные, а последующие нет). А нам нужно найти все способы расставить $m$ успехов по $n$ местам без учёта порядка, а это определение числа сочетаний, то есть $C_n^m$.

Все эти комбинации – несовместные события. Следовательно, мы можем сложить $C_n^m$ способов и получить требуемое.

Пример 1

$n=10$ испытаний с подбросом монеты. Какой шанс выбить орёл?

Решение

• $n=10$
• $A\text{ - выпал орел}$
• $\overline{A}\text{ - выпал орел}$
• $p=P(A)=\frac{1}{2}$
• $q=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
  $P_{10}(5)=C_{10}^5\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^5\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^5=\frac{6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}\cdot \frac{1}{2^{10}}=\frac{63}{256}$

Пример 2

В семье $5$ детей найти вероятность того что это $2$ девочки и $3$ мальчика

Решение

• $P(\text{дев})=P(\text{мал})=\frac{1}{2}$
• $n=5$
• $A\text{ - родилась дочь}$
• $\overline{A}\text{ - рождение мальчика}$

$P_5(2)=C_5^2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{4\cdot 5}{2}\cdot \frac{1}{32}=\frac{5}{16}$

$P_5(3)=C_5^3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{5}{16}$