Теорема. Асимптотическая формула Пуассона

Формула Пуассона

Имеется испытание Бернулли, $n\to \infty ,p\to 0$, $np=\lambda \in [1;15]$
Тогда вероятность того, что в $n$ испытаниях успехов ровно $m$:

$$P_n(m)\approx \frac{{\lambda }^m}{m!}{e}^{-\lambda }$$

Замечание

Формула решает ту же задачу, что и формула Бернулли, но она применяется для массовых и редких событий

Доказательство

$\lambda =np⟹p=\frac{\lambda }{n}⟹q=1-\frac{\lambda }{n}$
Распишем формулу Бернулли и раскроем в ней число сочетаний

$$\begin{array}{lc}& P_n(m)=C_n^m\cdot p^m{q}^{n-m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\cdot {\left(\frac{\lambda }{n}\right)}^m\cdot {\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^{n-m}=\\ & =\frac{{\lambda }^m}{m!}\cdot \frac{(n-m+1)\dots n}{n^m}\cdot {\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^{n-m}\end{array}$$

Далее рассмотрим последовательность из $m$ элементов в числителе $(n-m+1),(n-m+2),\dots (n-1),n$.
У нас есть $n^m$, то есть $m$ $n$–ок. Разделим каждую скобку из числителя на $n$.
Также разделим ${\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^{n-m}$ по свойству степеней.

$$\frac{{\lambda }^m}{m!}\left(1-\frac{m-1}{n}\right)\left(1-\frac{m-2}{n}\right)\dots \left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot 1\cdot {\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^n\cdot {\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^{-m}$$

Заметим, что почти все элементы последовательности стремятся к $1$, кроме ${\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^n$ для неё мы можем применить второй замечательный предел

$$\frac{{\lambda }^m}{m!}\underset{\to 1}{\underbrace{\left(1-\frac{m-1}{n}\right)}}\underset{\to 1}{\underbrace{\left(1-\frac{m-2}{n}\right)}}\dots \underset{\to 1}{\underbrace{\left(1-\frac{1}{n}\right)}}\cdot \underset{\to e^{-\lambda }}{\underbrace{{\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^n}}\cdot \underset{\to 1}{\underbrace{{\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^{-m}}}\underset{n\to \infty }{\to }\frac{{\lambda }^m}{m!}{e}^{-\lambda }$$

Теорема доказана

Пример

В книге $1000$ страниц. Вероятность опечатки на $1$ странице равна $0,003$. Найти $P$ того, что в книге будет не меньше $2$ опечаток.

Решение

• $n=1000$
• успех $A$ – «опечатка»
• $p=0,003$
• $m\ge 2$

Выразим искомое событие через вероятность противоположного события, что ошибок меньше $2$

$$P_{1000}(m\ge 2)=1-P_{1000}(m<2)=1-P_{1000}(0)-P_{1000}(1)\approx 1-\frac{3^0}{0!}{e}^{-3}-\frac{3^1}{1!}{e}^{-3}\approx 0,801$$