Геометрическое распределение

a Геометрическое распределение через неудачи

Случайная величина $\xi$ соответствует распределению $Geom(p)$ с параметром $p\in (0,1)$, если она принимает значения $k=0,1,2\dots$
$k$ – обозначение количества неудач до первого успеха с вероятностями:

$$P\{\xi =k\}=(1-p{)}^k\cdot p$$

Ряд распределения:

$$\begin{array}{cccccc}{x}_i& 0& 1& \dots & k& \dots \\ p_i& p& (1-p)\cdot p& \dots & (1-p{)}^k\cdot p& \dots \end{array}$$

a Математическое ожидание

$$E\xi =\frac{1-p}{p}$$

Доказательство

Лемма. Выражение ряда через геометрическую прогрессию

Для любого $a\in (0;1)$ верно следующее

$$\sum _{k=1}^{\infty }k\cdot a^{k-1}={\left(\sum _{k=1}^{\infty }{a}^k\right)}^{\prime }\stackrel{\text{Геом. прогрес.}}{=}{\left(\frac{a}{1-a}\right)}^{\prime }=\frac{1-a+a}{(1-a{)}^2}=\frac{1}{(1-a{)}^2}$$

$$\begin{array}{rl}& E\xi =\sum x_i{p}_i=\sum _{k=0}^{\infty }k(1-p{)}^{k}p=p(1-p)\sum _{k=1}^{\infty }k(1-p{)}^{k-1}\stackrel{\text{Лемма}}{=}\\ & \stackrel{\text{Лемма}}{=}p(1-p)\cdot \frac{1}{(1-(1-p){)}^2}=\frac{1-p}{p}\end{array}$$

b Геометрическое распределение через успех

Случайная величина $\xi$ соответствует распределению $Geom(p)$ с параметром $p\in (0,1)$, если она принимает значения $k=1,2\dots$
$k$ – обозначение шага на котором произошёл успех с вероятностями:

$$P\{\xi =k\}=(1-p{)}^{k-1}\cdot p$$

Ряд распределения:

$$\begin{array}{cccccc}{x}_i& 1& 2& \dots & k& \dots \\ p_i& p& (1-p)\cdot p& \dots & (1-p{)}^{k-1}\cdot p& \dots \end{array}$$

b Математическое ожидание

$$E\xi =\frac{1}{p}$$

Доказательство

Лемма. Выражение ряда через геометрическую прогрессию

Для любого $a\in (0;1)$ верно следующее

$$\sum _{k=1}^{\infty }k\cdot a^{k-1}={\left(\sum _{k=1}^{\infty }{a}^k\right)}^{\prime }\stackrel{\text{Геом. прогрес.}}{=}{\left(\frac{a}{1-a}\right)}^{\prime }=\frac{1-a+a}{(1-a{)}^2}=\frac{1}{(1-a{)}^2}$$

$$E\xi =\sum x_i{p}_i=\sum _{k=1}^{\infty }k(1-p{)}^{k-1}\cdot p\stackrel{\text{Лемма}}{=}p\cdot \frac{1}{(1-(1-p){)}^2}=\frac{1}{p}$$