Теорема умножения вероятностей

Теорема умножения вероятностей

Пусть события $A,B$
$P(A\cap B)=P(A|B)\cdot P(B)$

Доказательство

Распишем пересечение событий через условную вероятность $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}⟹P(A\cap B)=P(A|B)P(B)$

Cледствие 1. Теорема умножения вероятностей для попарно независимых событий

$A$ и $B$ – Попарно независимые события $\iff P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Доказательство

$P(A|B)=P(A)$ так как события независимые
$P(A\cap B)=P(A|B)\cdot P(B)=P(A)\cdot P(B)$

Следствие 2

Если $A$ не зависит от $B\Rightarrow$ событие $B$ не зависит от $A$

Доказательство

• Распишем условие независимости $B$ от $A$ и получим требуемое
  $P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\stackrel{\text{теорема}}{=}\frac{P(A)\cdot P(B)}{P(A)}=P(B)$

Следствие 3

Если $A$ и $B$ – независимы $\Rightarrow A$ и $\bar{B}$, $\bar{A}$ и $B$, $\bar{A}$ и $\bar{B}$ – независимы

Доказательство для $A$ и $\bar{B}$

$P(A|\bar{B})=\frac{P(A\cap \bar{B})}{P(\bar{B})}=\frac{P(\bar{B}|A)\cdot P(A)}{P(\bar{B})}=$
$=\frac{(1-P(B|A))P(A)}{P(\bar{B})}\stackrel{\text{следствие 2}}{=}\frac{(1-P(B))P(A)}{P(\bar{B})}=\frac{P(\bar{B})\cdot P(A)}{P(\bar{B})}=P(A)$
Для остальных случаев аналогично