Условная вероятность

Условная вероятность

Рассматриваем Вероятностное пространство
$P(B)\ne 0⟹P(A|B)$ – вероятность наступления события $A$ если известно что событие $B$ произошло
$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Пример

Подбросили 2 кости. Найти вероятность того, что в сумме выпадает число $>4$, если известно, что на 1-й кости выпало четное число.

Решение 1. В лоб

Изобразим таблицу которая показывает все возможные исходы.
✓ – сумма $>4$
✗ – сумма $\le 4$ при условии четной первой кости

1-я кость \ 2-я кость	1	2	3	4	5	6
1
2	✗	✗	✓	✓	✓	✓
3
4	✓	✓	✓	✓	✓	✓
5
6	✓	✓	✓	✓	✓	✓

Всего возможных исходов в выделенных строках: 18.
Из них благоприятных : 16.
$P=\frac{16}{18}=\frac{8}{9}$

Решение 2. Через формулу условной вероятности:

Пусть:

• $A$ – в сумме выпало число $>4$
• $B$ – на 1-й кости выпало четное число
  Тогда:
• $P(B)=\frac{1}{2}$
• $P(A\cap B)=\frac{16}{36}$
  $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{16}{36}}{\frac{1}{2}}=\frac{8}{9}$

Пример из Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика

В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие $B$), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие $A$).

Решение

После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность

$P(B|A)=3/5.$

Этот же результат можно получить по формуле

$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}(P(A)>0).(\ast )$

Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании

$P(A)=3/6=1/2.$

Найдем вероятность $P(A\cap B)$ того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором — белый. Общее число исходов — совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений $A_6^2=6\cdot 5=30$. Из этого числа исходов событию $AB$ благоприятствуют $3\cdot 3=9$ исходов. Следовательно,

$P(A\cap B)=9/30=3/10.$

Искомая условная вероятность

$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{(\frac{3}{10})}{\left(\frac{1}{2}\right)}=3/5.$